Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год

Класс

 

Продолжительность – 4 часа (240 минут).          Максимальный балл – 35

 

 

1. Красная Шапочка решила сходить к бабушке, домик которой находился в 1 км ходьбы от ее дома. Волк ей в тот день не попался, поэтому туда и обратно она шла по одному и тому же маршруту. На горизонтальных участках ее скорость была 4 км/ч, в гору – 3 км/ч, а с горы – 6 км/ч. Сколько времени она была в пути?

2. Петя утверждает, что два спинера дороже пяти мороженых, Вася -- что три спинера дороже восьми мороженых. Известно, что прав из них только один. Верно ли, что 7 спинеров дороже 19 мороженых?

3. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей 2 и 4 см. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны.

4. Три прямые, пересекаясь, образуют 12 углов, причем n из них оказались равными. Каково может быть максимальное значение n?

5. Рассмотрим четыре последовательных числа n, n + 1, n + 2, n + 3. Для каких n НОК первых трех чисел больше, чем НОК последних трех?

 

 

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год

 

Класс

 

Продолжительность – 4 часа (240 минут).                 Максимальный балл – 35

1. Красная Шапочка решила сходить к бабушке, домик которой находился в 1 км ходьбы от ее дома. Волк ей в тот день не попался, поэтому туда и обратно она шла по одному и тому же маршруту. На горизонтальных участках ее скорость была 4 км/ч, в гору – 3 км/ч, а с горы – 6 км/ч. Сколько времени она была в пути?

2. Петя утверждает, что два спинера дороже пяти мороженых, Вася -- что три спинера дороже восьми мороженых. Известно, что прав из них только один. Верно ли, что 7 спинеров дороже 19 мороженых?

3. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей 2 и 4 см. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны.

4. Три прямые, пересекаясь, образуют 12 углов, причем n из них оказались равными. Каково может быть максимальное значение n?

5. Рассмотрим четыре последовательных числа n, n + 1, n + 2, n + 3. Для каких n НОК первых трех чисел больше, чем НОК последних трех?

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год

Класс

 

Продолжительность – 4 часа (240 минут).                           Максимальный балл – 35

 

1. При каких p один из корней уравнения x2 + px + 18 = 0 вдвое больше другого?

2. Известно, что число a = рационально. Доказать, что число b =  также рационально.

3. Натуральное число n таково, что числа 2n + 1 и 3n + 1 являются квадратами. Может ли при этом число n быть простым?

4. Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABC равен 108°. Докажите, что биссектриса угла A вдвое больше биссектрисы угла B.

5. а) Какое наибольшее количество неперекрывающихся полосок 1 × 3 можно уместить на салфетке, изображенной на рисунке? б) Какое наименьшее количество полосок 1 × 3 потребуется, чтобы покрыть салфетку целиком, если полоски могут перекрываться?

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год

Класс

Продолжительность – 4 часа (240 минут).                           Максимальный балл – 35

1. При каких p один из корней уравнения x2 + px + 18 = 0 вдвое больше другого?

2. Известно, что число a = рационально. Доказать, что число b =  также рационально.

3. Натуральное число n таково, что числа 2n + 1 и 3n + 1 являются квадратами. Может ли при этом число n быть простым?

4. Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABC равен 108°. Докажите, что биссектриса угла A вдвое больше биссектрисы угла B.

5. а) Какое наибольшее количество неперекрывающихся полосок 1 × 3 можно уместить на салфетке, изображенной на рисунке? б) Какое наименьшее количество полосок 1 × 3 потребуется, чтобы покрыть салфетку целиком, если полоски могут перекрываться?

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год

Класс

 

Продолжительность – 4 часа (240 минут).                           Максимальный балл – 35

 

1. Известно, что sin(a + b) = 0,2 и cos(a − b) = 0,3. Вычислите sin(α + 45°)žsin(β + 45°).

2. При каких q один из корней уравнения x2 – 12x + q = 0 является квадратом другого?

3. Пусть x1, x2, … , x100 — некоторые числа, принадлежащие отрезку [0; 1]. Верно ли, что на этом отрезке найдётся такое число x, что |x − x1| + |x − x2| + . . . + |x − x100| = 50?

4. Две окружности, радиусы которых относятся как 2 : 3, касаются внутренним образом. Через центр меньшей окружности проведена прямая, перпендикулярная линии центров, из точек пересечения этой прямой с большей окружностью проведены касательные к меньшей окружности. Найти углы между этими касательными.

5. a) Какое наибольшее количество неперекрывающихся полосок 1×3 можно уместить на салфетке, изображенной на рисунке? б) Какое наименьшее количество полосок 1 × 3 потребуется, чтобы покрыть салфетку целиком, если полоски могут перекрываться?

 

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год

Класс

Продолжительность – 4 часа (240 минут).                           Максимальный балл – 35

1. Известно, что sin(a + b) = 0,2 и cos(a − b) = 0,3. Вычислите sin(α + 45°)žsin(β + 45°).

2. При каких q один из корней уравнения x2 – 12x + q = 0 является квадратом другого?

3. Пусть x1, x2, … , x100 — некоторые числа, принадлежащие отрезку [0; 1]. Верно ли, что на этом отрезке найдётся такое число x, что |x − x1| + |x − x2| + . . . + |x − x100| = 50?

4. Две окружности, радиусы которых относятся как 2 : 3, касаются внутренним образом. Через центр меньшей окружности проведена прямая, перпендикулярная линии центров, из точек пересечения этой прямой с большей окружностью проведены касательные к меньшей окружности. Найти углы между этими касательными.

5. a) Какое наибольшее количество неперекрывающихся полосок 1×3 можно уместить на салфетке, изображенной на рисунке? б) Какое наименьшее количество полосок 1 × 3 потребуется, чтобы покрыть салфетку целиком, если полоски могут перекрываться?

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год

Класс

Продолжительность – 4 часа (240 минут).                           Максимальный балл – 35

1. При каких p один из корней уравнения x2 – px + p = 0 является квадратом другого? (считаем, что корни уравнения различны)

2. Петя нашёл сумму всех нечётных делителей некоторого чётного натурального числа n, а Вася – сумму всех его чётных делителей. Может ли произведение их результатов оказаться равным 2016? Если может, найдите все такие числа n.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 стороны AB = 2, AC = 3, AA1 = 4. Найти площадь сечения AMK, где M – середина BB1 и K – середина DD1.

4. Пусть x1, x2, … , x100 — некоторые числа, принадлежащие отрезку [0; 1]. Верно ли, что на этом отрезке найдётся такое число x, что |x − x1| + |x − x2| + . . . + |x − x100| = 50?

5. На доске размером 10×10 стоят 10 небьющих друг друга ладей. Можно ли остальные клетки доски замостить доминошками? (Доминошка — прямоугольник размером 1×2 или 2×1.

 

 

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год

Класс

Продолжительность – 4 часа (240 минут).                           Максимальный балл – 35

 

 

1. При каких p один из корней уравнения x2 – px + p = 0 является квадратом другого? (считаем, что корни уравнения различны)

2. Петя нашёл сумму всех нечётных делителей некоторого чётного натурального числа n, а Вася – сумму всех его чётных делителей. Может ли произведение их результатов оказаться равным 2016? Если может, найдите все такие числа n.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 стороны AB = 2, AC = 3, AA1 = 4. Найти площадь сечения AMK, где M – середина BB1 и K – середина DD1.

4. Пусть x1, x2, … , x100 — некоторые числа, принадлежащие отрезку [0; 1]. Верно ли, что на этом отрезке найдётся такое число x, что |x − x1| + |x − x2| + . . . + |x − x100| = 50?

5. На доске размером 10×10 стоят 10 небьющих друг друга ладей. Можно ли остальные клетки доски замостить доминошками? (Доминошка — прямоугольник размером 1×2 или 2×1.