Касательная к графику функции

Уравнение касательной: )

k– угловой коэффициент касательной – выражает угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох.

Касательная параллельна оси оХ, если

Касательная образует с  осью оХ острый угол, если

Касательная образует с  осью оХ тупой угол, если

Применение производной в физике и технике

 путь тела, t – время движения.

скорость тела:  скорость равна производной от пути.

ускорениетела:  ускорение равно производной от скорости.

Пример. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки A этой прямой изменяется по закону

 (м), где t- время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.

  Скорость тела находится по формуле:  

Найдем производную от пути по времени:

Найдем скорость тела через 3 секунды:

 м/с

Ответ: =  м/с

 

Применение непрерывности производной

Схема решения неравенства методом интервалов.

1. Приравниваем неравенство к 0.

2. Решаем уравнение, находим его корни.(Если в неравенстве дробь, то числитель приравниваем к нулю а знаменатель не равен нулю).

3. Полученные корни заносим на числовую прямую, разбиваем прямую на интервалы.

4. Определяем на каждом интервале знак, подставив число из интервала в неравенство.

5. Выписываем в качестве ответа нужные интервалы. Если в неравенстве стоит знак >0, то выписываем положительные интервалы, и если стоит знак <0, то соответственно выписываем отрицательные интервалы.

Пример:  Решить неравенство

Приравниваем неравенство к 0:

Разбиваем неравенство на 2 части

                                                             

Из первого уравнения находим корни: x₁=5, x₂=-7/2

Из второго уравнения

Заносим эти три корня на числовую прямую, разбиваем ее на интервалы:

                              +          -       +        -

                                    -7/2    4          5

Определяем знаки на каждом интервале, подставляя числа из интервалов в неравенство.

Выписываем ответ, выбираем те промежутки, на которых знак положительный.

Ответ:

Применение производной к исследованию функций

Наибольшее и наименьшее значение функции f ( x ) на интервале [а; b ].

1) Находим производную функции .

2) Решаем уравнение =0, т.е. находим точку экстремума на интервале.

3)  Находим значение функции f(x) в этой точке.

4) Находим значения функции f(x) в концах интервала – точках а и в (f(a)и f(в)).

5) Выбираем нужное значение. Если ищем максимальное, то выбираем наибольшее, если ищем минимальное, то выбираем наименьшее значение.

 

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ

– первообразная для функции

Таблица первообразных

Площадь криволинейной трапеции

S = F ( b )- F ( a ) -формула для нахождения площади криволинейной трапеции, где

F ( x )- первообразная функции f ( x ), которая задает криволинейную трапецию;

 а и b- концы интервала, границы криволинейной трапеции;

F ( a ) и F ( b ) – значения первообразной в концах интервала.

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси оХ, то ее площадь берется с минусом.

S =- ( F ( b )- F ( a ))

СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ

Уравнение

Решение зависит от степени n

n- четное => 2 корня	n – нечетное = 1 корень
Причем, если a >0 – 2 решения; a =0 – одно решение; a<0 – нет решений	причем, справедливо равенство

Пример:

Извлекаем корень пятой степени:

                Ответ: x=-1

Таблица степеней