Приложения цепных дробей

Цепные и ветвящиеся цепные дроби обладают рядом уникальных свойств, обеспечивающих им широкое использование в теоретической и прикладной математике. Этим и объясняется повышенный интерес математиков к данной теории на протяжении нескольких веков.

Применение цепных дробей при решении классической задачи древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу (квадратура круга) сыграло свою роль при нахождении значения числа π. Проблема составления календаря тесно связана с цепными дробями. Впервые порядок в счёте времени попытался навести в I в. до. н.э. римский император Юлий Цезарь, но его календарь был не достаточно точен. По юлианскому календарю к XVI в. накопилась ошибка, составляющая уже около 10 суток. В результате чего была проведена следующая реформа календаря папой римским Григорием XIII, именем которого и называется действующая система календаря. Решением этой задачи занимались многие математики среди них и Омар Хайям, о его системе календаря было рассказано ранее. В 1864 г. русским астрономом И. Медлером была предложена ещё одна поправка к юлианскому календарю, основанная на нахождении уже четвёртой подходящей дроби к записи продолжительности астрономического года в виде цепной дроби. Решением ещё одной задачи XVII века занимался Х.Гюйгенс при построении планетария (С.8).

В настоящее время в теоретическом плане непрерывные дроби играют существенную роль, так как позволяют усилить и развить результаты классической математики на случай многих аргументов, причём сам аппарат цепных дробей зачастую подсказывает формулировки такого рода обобщений, в частности, в теории чисел.

Цепные дроби широко применяются в теории чисел: обобщены некоторые основные алгоритмы (алгоритм Евклида, Остроградского, Эйлера), найдено решение классической задачи об алгебраических иррациональностях высших степеней, найдены отдельные решения некоторых диофантовых уравнений и их систем.

Цепные дроби дают большое преимущество в точности при приближённом нахождении корней квадратных уравнений; вычислении логарифмов чисел.

Цепные дроби позволяют строить алгоритмы для вычисления корней алгебраических уравнений произвольной степени. В вычислительной практике используются при решении сравнений первой степени, также удобны в использовании дробно-рациональные аппроксимации функций одного аргумента цепными дробями с помощью формул Обрешкова или Тиле по методу Паде [24, Гл.3, §1, С.147]. Они также используются в теории сравнений.

    На базе цепных дробей построены некоторые эффективные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, неопределённых уравнений вида  [14, Гл.3, §4, п.2, С. 81],  [14, Гл.6, §4, С. 196], уравнений рекуррентного типа, и других типов уравнений. Решение задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений с частными производными можно представить ветвящимися цепными дробями, при наложении некоторых условий к системе и начальным условиям.

Цепные дроби используются для нахождения приближенных представлений функций. Эти приближения, являющиеся дробно-рациональными функциями от независимых переменных успешно заменяют данную функцию в тех областях изменения аргумента, где, например, разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно, приближения в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы. При использовании дробно-рациональных приближений отпадает необходимость вычислять высокие степени аргумента и появляется возможность вычислять значения отдельных функций.

Теория матричных ветвящихся цепных дробей позволяет решить следующие задачи: извлечение квадратного корня, корня третьей, четвёртой степени и корня любой рациональной степени с помощью матриц, решение уравнений с помощью матриц второго порядка, решение уравнений высших степеней с помощью матриц. (Матричные рекуррентные уравнения применяются в задачах экономики, физики, плазмы и др.) [24, Гл.4, С. 176].

В настоящее время цепные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, так как позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Помимо теоретического использования правильных цепных дробей существуют и практические приложения цепных дробей. Среди всего их множества можно отметить следующие:

· Решение обратных задач теплопроводности [6];

· Исследование механических колебаний в валопроводах различных энергетических установок [20];

· Синтез устройств частотной селекции на функциональных времязадающих элементах [3];

· Исследование устойчивости, исследование установившихся и переходных процессов, стабилизация систем, исследование и обеспечение качества систем, исследование случайных процессов, оптимизация параметров и ряд других проблем в технике, в частности, в автоматике, радиоэлектронике, приборостроении и др.[1].

Литература

1. Боднарчук, П.И. Успехи и задачи теории цепных и ветвящихся цепных дробей / П.И. Боднарчук, В.Я. Скоробогатько // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 5 – 8

2. Бухштаб, А.А. Теория чисел / А.А. Бухштаб. – Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

3.  Гапоненко, Н.П. Цепные дроби в синтезе устройств частотной селекции на функциональных времязадающихся элементах / Н.П.Гапоненко, Н.Н.Рябец // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 48 – 49.

4. Глейзер, Г.И. История математики в средней школе. Пособие для учителей / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1970. - 461с., ил.

5.  Джоунс, У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения / У. Джоунс, В. Трон; Перевод с англ. В. Е. Кондрашова, С. Б. Королёва и И. Г. Турундаевской; под ред. И. Д. Софронова - М.: Мир, 1985. – 416 с.

6. Зотов, Е.Н. Решение обратных задач теплопроводности с помощью цепных дробей / Е.Н.Зотов, Н.П.Пучков, Ю.С. Шаталов // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 56 – 57.

7. Кудреватов, Г.А. Сборник задач по теории чисел / Г.А. Кудреватов. - М.: Просвещение, 1970. – с.

8. Ламберт, И.Г. Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга. / И.Г. Ламберт // О квадратуре круга: сб. научных трудов / под ред. акад. С.Н.Бернштейна. – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 169-198

9.   Математическая энциклопедия: В 5 т. Т. 5: Цепные дроби. – М.: Советская энциклопедия, 1985.

10. Маурер, Г.В. Решение одного дифференциального уравнения Риккати с помощью цепных дробей / Г.В. Маурер // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 76 – 77.

11. Маурер, Г.В. О разложении в цепные дроби некоторых предельных случаев функции Гейне. / Г.В. Маурер // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. –– С. 211-221.

12. Маурер, Г.В. О решениях некоторых диофантовых уравнений второй степени. / Г.В. Маурер // Вторая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам: тезисы докладов. – М.: ТВП, 1995.

13. Маурер, Г.В. Решение некоторых неопределённых уравнений второй степени с помощью цепных дробей общего вида / Г.В. Маурер // Учёные записки МГПИ им. Н.К.Крупской: Т. 26.– Йошкар-Ола, 1965. – С. 431-442.

14.  Михелович, Ш.Х. Теория чисел / Ш.Х. Михелович. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1967. – 336 с.

15.  Нивен, А. Числа рациональные и иррациональные / А. Нивен; перевод с англ. В.В. Сазонова; под ред. И.М. Яглома - М.: Мир, 1966. - 199с.

16. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры: книга для учащихся 7-9 классов ср. школы / Л.Ф. Пичурин – М.: Просвещение, 1990. – 237с.

17.  Рудио, Р. Обзор истории задачи о квадратуре круга от древности до наших дней. / Р. Рудио // О квадратуре круга / под ред. акад. С.Н.Бернштейна. – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 9-94

18. Семёнова, Е.Д. Изучение цепных дробей на факультативных занятиях по математике./Е.Д. Семёнова, О.Г. Куклина // Педагогика будущего: сборник научных трудов аспирантов и студентов. Вып. 2 / под ред. Г.В. Рокиной. - Йошкар-Ола. - 2005. – С.305-308

19. Смышляев, В.К. Сходимости сжатых цепных дробей. Аналитическая геометрия треугольника вопросы теории цепных дробей / В.К. Смышляев // Учёные записки МГПИ им. Н.К.Крупской: Т. 26.– Йошкар-Ола, 1965. –С.443-444

20. Терских, В.П. Цепные дроби – математические модели колеблющихся цепных систем / В.П. Терских // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 34 – 40.

21.  Хинчин, А.Я. Цепные дроби. / А.Я. Хинчин – М.: ГИФ – МЛ, 1961, 112с.

22. Хлопонин, С.С. Области сходимости цепных дробей / С.С. Хлопонин // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 96 – 97.

23.  Хлопонин, С.С. Сходимость цепных дробей. / С.С. Хлопонин // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. – С. 354 - 362.

24.  Хованский, А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа / А.Н. Хованский. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 204 с.

25.  Хованский, А.Н. Работы Л.Эйлера по теории цепных дробей / А.Н. Хованский // Историко-математические исследования. – Вып. 10. – С.305-326.

26.  Шутова, Л.П. Об одном обобщении алгоритма цепных дробей и его приложение к приближённому вычислению некоторых функций / Л.П. Шутова // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. – С.406 - 413.