Применение цепных дробей в теории чисел

Задачами, относящимися к теории чисел, являются разложения действительных чисел в правильные непрерывные дроби и аппроксимации действительных чисел с помощью цепных (непрерывных) дробей. Здесь наиболее важным является вопрос о степени приближения, которое обеспечивает n-я подходящая дробь и об оценке погрешности при замене действительного числа подходящей дробью.

Большой вклад в теорию правильных непрерывных дробей внёс Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), доказавший, что квадратичные иррациональности есть именно те числа, которые имеют периодические разложения (начиная с некоторого n) [8]. Им предложено неравенство, оценивающее погрешность при замене действительного числа его подходящей дробью, а также решение уравнения Пелля , где  и - иррациональное число [14, Гл.6, §4, С. 196] в виде пары { P_n ( ), Q_n ( )} для некоторых значений n. Законченное решение этой задачи дал Адриен Мари Лежандр (1752-1833); частные решения были уже получены Эйлером (уравнение Пелля интересно, в частности, тем, что может быть использовано при решении задач аддитивной теории чисел, таких, как, например: «каждое простое число вида 4n+1 является суммой двух квадратов». – Такой результат сформулировал Пьер Ферма (1601-1665) и впервые доказал Эйлер. Доказательство же, основанное на непрерывных дробях, дал Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)).

Эварист Галуа (1811-1832) в своей первой опубликованной работе исследовал некоторые периодические правильные непрерывные дроби. Он дал определение двойственных периодических правильных непрерывных дробей [5, Гл.3, 3.3, С.71].

Жозеф Лиувилль (1809-1882) первым доказал существование трансцендентных чисел. В 1851 г. он отметил, что алгебраические числа не могут быть достаточно точно аппроксимированы рациональными числами.   Он доказал, что для  - корня неприводимого полинома с целыми коэффициентами степени n существует константа с: 0< c <1, что для всех подходящих дробей выполняется неравенство  [2, Гл.29, п.2, Т 270, С. 264]. Используя этот результат, он получил возможность привести сколь угодно много примеров трансцендентных чисел.

Результат, полученный Адольф Гурвицем (1859-1919) в 1891 заключается в том, что неравенство  всегда имеет бесконечное число рациональных решений  (Т. 12, С. 33). Эмиль Борель (1871-1956) дал простое доказательство этого факта, заметив, что среди любых трёх следующих одна за другой последующих дробей правильного непрерывно-дробного разложения  имеется хотя бы одна, которая удовлетворяет данному неравенству.

Оттенок теории меры придали этим результатам Борель и Феликс Бернштейн (1878-1956), которые доказали, что для почти всех х: 0< x <1,последовательность {a_n} не ограничена. А.Я.Хинчин (1894-1959) дал дальнейшее развитие этому направлению – он основал метрическую теорию непрерывных дробей [21].