Глава 2 Теоретическая модель и методы моделирования

Теоретическая модель

Согласно подходу, основанному на МПК, представим поле плоской волны E( z, t), распространяющейся вдоль оси z, в виде суперпозиции поляризованных компонент:

(2.1)

где величины e_ψ, E(ψ, z, t) и φ(ψ, z, t) являются соответственно единичным вектором поляризации, амплитудой и фазой отдельной компоненты, а угол ψ определяет ориентацию вектора поляризации e_ψ относительно некоторой оси в плоскости волнового фронта. В качестве набора поляризационных состояний e_ψ будем использовать набор вещественных векторов (линейные поляризации), которые отличаются лишь ориентацией в плоскости волнового фронта.

В общем случае излучение немонохроматично, поэтому каждая поляризационная компонента представляет собой суперпозицию компонент различных частот, соответствующих углу ψ. Фазы отдельных компонент, соответствующие различным значениям угла и частоты, считаются исходно полностью некоррелированными.

 Эволюция этой величины при распространении в нелинейной среде в приближении медленно меняющихся амплитуд в общем виде может быть описана уравнением:

(2.2)

Здесь k_amp(ψ, ω) и ρ – коэффициенты усиления и изотропных внутренних потерь, соответственно, а параметр L(ω,ψ) описывает вклад спонтанного излучения. Полагая, что плотность энергии накачки однородно распределена по объему активного слоя, и абстрагируясь от частотной зависимости, параметр L(ω,ψ) может рассматриваться как некая постоянная величина, независящая ни от угла ψ, поскольку она пропорциональна концентрации неравновесных носителей, ни от частоты. Также в данном разделе мы будем рассматривать систему в квазистационарном приближении, что позволяет избавиться от временной зависимости. Поэтому в уравнении (2.2) можно пренебречь производной по координате и само уравнение переписать в виде:

,

(2.3)

Несмотря на то, что поверхностно излучающие лазеры обладают осевой симметрией, появление эффекта ПП в значительной мере связано с анизотропией коэффициента усиления. Природа данной анизотропии может быть весьма разнообразна и очень часто не представляется возможным определить, является ли её причиной какой-то определенный механизм или все в совокупности. Так, к зависимости коэффициента усиления от направления поляризации приводит частотный сдвиг между различными компонентами. Другим источником анизотропии усиления является эффект термолинзы возникающий вследствие омического нагрева активной среды. Также к угловой зависимости коэффициента усиления приводят неравномерные механические нагрузки, возникающие в реальных лазерных системах. Причем такая наведенная анизотропия не зависит от частотных характеристик поляризационных мод. Таким образом, на основе расчетов анизотропии коэффициента усиления для инжекционных лазеров, для принятой модели можно записать:

,

(2.4)

где параметры k_m (m = x, y) определяют ориентационную анизотропию коэффициента усиления в привязке кристаллографическим осям активного слоя, ориентированным ортогонально оптической оси резонатора.

Речь идет именно об эффективной плотности тока накачки, поскольку зависимость k_m от J может быть не явной (например, разогрев активного слоя или возникающие внутренние напряжения между активным слоем и подложкой), однако механизмы такой зависимости в данной работе не конкретизируются и плотность тока накачки рассматривается как единственный параметр, определяющий характер ПП.

Параметры отражают различие пороговых условий и скорости роста усиления для компонент различной поляризации, что определяет возможность существования точки ПП. Выбор линейной зависимости от J обусловлен экспериментальными данными по ватт-амперным характеристикам как для суммарной интенсивности выходного излучения, так и для интенсивности отдельных компонент, которые близки к линейным. В этом случае может существовать только одна область ПП. Для получения большего числа ПП необходимо учитывать либо слабую нелинейность зависимости, что реально имеет место, либо спектральные сдвиги параметров, хотя, что вероятнее всего, имеет место комбинация этих механизмов.

Методы моделирования

Для описания формирования усиленного излучения будем использовать одномерную модель лазера с плоскопараллельным резонатором, которая хорошо подходит как для торцевых инжекционных лазеров, так и для VCSEL. В этом случае формирующееся излучение можно представить в виде суперпозиции двух полей, распространяющихся в положительном (“+“) и отрицательном (“–“) направлениях вдоль оси резонатора z соответственно. С учетом всего вышесказанного уравнения для эволюции усиленного излучения в активном слое лазера могут быть записаны в следующем виде:

.

(2.5)

Считая, что активная среда протяженностью l начинается в точке z = 0, граничные условия для этих компонент могут быть сформулированы следующим образом:

,

(2.6)

где R(ψ) – коэффициент отражения зеркал резонатора. Будем считать, что коэффициенты отражения одинаковы для обоих зеркал.

Численное решения уравнений (2.1.7) проводилось следующим образом: уравнение (2.5) решалось методом Рунге – Кутта четвертого порядка в интервале z [0, l] в предположении, что распределение известно из предыдущей итерации. Дальше применяли граничные условия (2.6), и в обратном проводилась аналогичная процедура. Количество проводимых итераций контролировалось и варьировалось для разных расчетов. Интенсивность выходного излучения определялась как:

.

(2.7)

Для расчетов была разработана программа, которая представляет собой набор процедур и функций, представляющих параметры лазерной системы и проводящие расчет излучения. Есть возможность контролировать число итераций, что физически соответствует контролю числа проходов или иначе говоря – времени жини фотона в резонатрое. Ниже представлена часть кода, решающее уравнение (2.5):

void solve(double jed,double IInject,dataz &A, double t)

{

    int i,j;

    double intens=calcRlum(A);

    n=n+calcConcentr(jed,n,intens)*dt;

    if(n<0) n=0;

    kfilltabl(n,A,jed*(d*L*electronV*a));

    if(t-tlum0>tlumcorrel1)

    {

              tlum0=t;

              tlumcorrel1=tlumcorrel*(0.3+rnd());

    }

    for(j=0;j<N_W;j++)

    for(i=0;i<N_PHI;i++)

    {

              A.field[j][i]+=c0*(A.field[j][i]*kphi[j][i]+Luminpsi[i]*n/ne)*dt;     //coupling*calcIFreq(A,(j%2+1)%2)+

              if(A.field[j][i]<0) A.field[j][i]=0;

              if(i==(((int)floor(angle/dphi))%N_PHI))

                       A.field[j][i]+=c0*IInject*N_PHI*dt;

    }

}

Расчет полной интенсивности излучения:

double calcI(double *dat)

{

    int i,j;

    double Ai=0;

              for(i=0;i<N_PHI;i++)

                                 Ai+=dat[i];//*sattable[j];

    return 2*Ai/N_PHI*dw*c0*refIndex*eps0*d*a;

}