Свойство кривых постоянной ширины

Теорема Барбье. Все кривые постоянной ширины h имеют одинаковую длину, равную ph.

Из рассмотрения 2n-угольников с равными углами, описанных вокруг произвольной кривой К постоянной ширины h и вокруг окружности О диаметра h, выведем теорему Барбье (рис.9, приложение 3).

Пусть O – окружность диаметра h, а K – произвольная кривая постоянной ширины h. Докажем, что периметры 2ⁿ – угольников с равными углами, описанных вокруг O и K, равны. Доказательство будем вести индукцией по n. Прежде всего ясно, что квадраты, описанные вокруг O и K, имеют равные периметры – эти квадраты даже равны.

Пусть теперь мы доказали, что периметры 2ⁿ – угольников с равными углами, описанных вокруг K и O, равны. Докажем, что то же имеет место и для 2ⁿ⁺¹ - 

угольников. Рассмотрим две стороны 2ⁿ⁺¹ – угольников, сходящиеся в одной вершине, - пусть это будет BE и BF – и две стороны – DL и DH, - противоположные им; продолжения этих сторон образуют параллелограмм ABCD, имеющих равные высоты, т. е. ромб. Это построение проведем для кривых O и K. Полученные при этом два ромба ABCD (описанный вокруг O) и A^’B^’C^’D^’ (описанный вокруг K) будут равны: они имеют равные углы и равные высоты. Проведем, далее, опорные прямые MN и QP окружности O, перпендикулярные к диагонали ромба BD, и опорные прямые M^’N^’ и Q^’P^’ кривой K, перпендикулярные к B^’D^’. Расстояние между этими опорными прямыми равно h; можно утверждать, что шестиугольники AMNCPQ и A^’M^’N^’C^’P^’Q^’ имеют одинаковые периметры. Но отсюда следует, что описанные вокруг O и K многоугольники, получающиеся из 2ⁿ – угольников заменой сторон BE, BF, DL и DH сторонами EM, MN, NF, LQ, QP, PH, имеют равные периметры. Производя это построение для каждых двух сторон BE и BF, сходящиеся в одной вершине, мы построим описанные вокруг K и O 2ⁿ⁺¹ – угольники с равными углами и докажем, что они имеют равные периметры.

Итак, указанные 2ⁿ – угольники (n = 2, 3, 4,…), описанные вокруг O и K, имеют равные периметры; следовательно, пределы этих периметров при
n® ∞ также равны, т. е. длины кривых K и O равны. Длина окружности O равна, как известно ph, значит, и длина K равна ph.

Докажем, что сумма произвольной кривой постоянной ширины h и той же самой кривой, повёрнутой на 180⁰, является окружностью радиуса h. Выведем из этого предложения новое доказательство теоремы Барбье.

 

 

Пусть K – произвольная кривая постоянной ширины h, K ¢ – кривая, которая получается из кривой K поворотом на 180⁰ вокруг начала отсчета O (кривая, симметричная K относительно начала отсчета O), K *= K + K ¢ – их сумма. K * есть кривая постоянной ширины 2 h; кроме того, K *= K + K ¢ есть центрально-симметричная кривая с центром симметрии в точке O, то есть K * переходит в себя при симметрии относительно точки O, или, другими словами, при повороте вокруг O на 180°(рис.10, Приложение 3). Действительно, при таком повороте K переходит в K ¢, K ¢ – в K, а следовательно, их сумма переходит в себя. Кривая K * должна быть окружностью радиуса h.

Длина окружности K * равна 2 p h. Но, с другой стороны, длина K * равна сумме длин кривых K и K ¢. Так как кривые K и K ¢ равны (одна получается из другой поворотом на 180°), то и длины их равны. Таким образом, удвоенная длина кривой K равна 2 p h, то есть длина кривой K равна p h.

Глава 2.  Тела постоянной ширины

Трехмерные аналоги кривых постоянной ширины называются телами постоянной ширины. Сфера – не единственное тело, которое может вращаться внутри куба, все время касаясь всех шести его граней. Этим же свойством обладают все тела постоянной ширины. Простейшим примером несферического тела постоянной ширины может служить тело, образующееся при вращении треугольника Рело вокруг одной из его осей симметрии, изображенное на рис. 11 ( Приложение 4).

 Существует бесконечно много и других тел постоянной ширины. Те из них, которые имеют наименьший объем при данной ширины, получаются из правильного тетраэдра, так же как треугольник Рело – из равностороннего треугольника: сначала на каждую грань помещают сферические шапочки, а затем слегка скругляют ребра. Ребра либо исходят из одной вершины, либо образуют треугольник. Примером такого искривленного тетраэдра постоянной ширины может служить тело, изображенное на рис. 12 (Приложение 4).   

Заключение

Большинство людей считают, что кривых постоянной ширины мало и в жизни человека их не используют, показывая тем самым, насколько сильно может вводить в заблуждение математическая интуиция. В действительности кривых постоянной ширины бесконечно много. В повседневной жизни нередко возникает необходимость перевезти с места на место тяжелый предмет. Пользоваться при этом тележкой не всегда удобно: оси ее от большой нагрузки могут прогнуться и даже треснуть. В таких случаях тяжелый предмет кладут на плоскую платформу, установленную на цилиндрических катках. По мере продвижения платформы, освободившиеся задние катки заносят вперед и укладывают перед ней. Ни сама платформа, ни покоящийся на ней предмет при движении по ровной горизонтальной поверхности не испытывают вертикальных перемещений по той простой причине, что цилиндрические катки в сечении имеют форму круга, а границы круга – окружность – принадлежит к числу замкнутых кривых, обладающих важным свойством – «постоянной шириной».

 Если бы кривые постоянной ширины не были открыты, незнание их привело бы к самым роковым последствиям в технике!

В дальнейшем мне бы подробнее хотелось остановиться и изучить тела постоянной ширины.

Список используемой литературы

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.,1998.

2. Гарднер М. Математические досуги. М.,1972.

3. Яглом И.М., Болтянский В.Г. Выпуклые фигуры. Государственное издательство технико-теоретической литературы. М., 1951.

Приложения

Приложение 1

 

 рис.1.

 

 

 рис.2.

 

 

                         рис.3.

 

Приложение 2

 

 

   рис.4.                                               рис.5.

 

                     

           

       рис.6                                                рис.7.

 

     рис.8.

Приложение 3

рис.9.

 

 

рис.10.

 

Приложение 4

 

 

рис.11.

 

рис.12.