Математические модели.

После второй мировой войны началась эпоха применения матема­тических моделей для решения самых разнообразных проблем, воз­никающих в человеческой деятельности. Появление и распространение ЭВМ сделало возможным использование математи­ческих моделей для решения экономических задач, начиная от перевозки одного продукта в масштабах района и кончая моде­лированием национальной экономики. Разрабатываются модели городов, рынков, войн, так называемые глобальные модели разви­тия вселенной. Если модель построена и ее создатели верят в ее адекватность, то она используется далее для решения различных задач - прогнозирования, принятия простых и сложных решений. Как правило, применение моделей связано с использованием ЭВМ. Математические модели в настоящее время претендуют на роль универсального средства решения любых проблем.

Мы рассмотрим далее математические модели только с одной точки зрения: их непосредственной применимости для решения проблемы выбора в уникальных ситуациях.

Математические модели издавна использовались физиками для описания основных свойств объективно существующего мира. Моде­ли менялись с углублением знаний о наблюдаемых явлениях, но каждый раз существовало общепринятое средство их проверки ­эксперимент.

У инженеров модели используются при конструировании сложных искусственных объектов. Так, при расчета систем автоматического управления ракетой используются дифференциальные уравнения, описывающие ее поведение. На основе этих уравнений делается расчет, определяющий, каким должен быть регулятор, чтобы дви­жение ракеты было устойчивым, удовлетворяло совокупности за­данных требований, либо было оптимальным по заданным критериям.

Общим в рассматриваемых случаях является взгляд на модель как на способ описания объективно существующих явлений, подда­ющийся проверке при эксперименте. Исследователь уверен в отсутствии «свободы поведения» у описываемых явлений, поскольку они обусловлены законами природы и конструкцией объектов. За­дача исследователя - правильно угадать наиболее подходящую структуру модели.

Несколько иной тип моделей принесло с собой исследование операций. Исследование операций использует общую схему систем­ного подхода. В качестве вспомогательного средства сравнения альтернатив в ней применяются математические модели. В отличии от физических и инженерных моделей в исследовании операций мо­дели описывают поведение систем, включающих в себя во многих случаях коллективы людей. При этом предполагается, что люди ведут себя определенным рациональным образом, который может быть адекватно описан. Критерий сравнения альтернатив (критерий оптимизации) обычно рассматривается как единственный и очевидный. В данном случае модель отражает веру исследовате­ля, что данная ситуация определяет именно это, а не другое по­ведение людей, и что в этом плане описание приближается к объ­ективному. В подобных случаях руководитель с его свободой в принятии решений является неотъемлемой составляющей рассматриваемой ситуации. Исключение его из рассмотрения, попытка рассмотрения ситуации выбора как «объективно существующей» приводит к край­ней ненадежности результатов при использовании математических моделей.

Прежде всего отметим, что упоминавшиеся выше методы иссле­дования операций предназначены для хорошоструктуризованных проблем. Слова «хорошоструктуризованные проблемы» совсем не означают, что эти проблемы легки. Построение математической модели, отражающей основные черты проблемы, часто представляет значительные трудности, не говоря уже о математических методах решения задач исследований операций, которым посвящены много­численные труды.

Большинство неструктуризованных проблем решается эвристи­ческими методами, в которых отсутствует какая-либо упорядочен­ная логическая процедура отыскания решения, а сам метод цели­ком зависит от личности исследователя, решающего задачу. Чаще всего эти методы интуитивных догадок, основанных на прошлом :»не знаю как, но я могу это сделать».

Важнейшая особенность слабоструктуризованных проблем заклю­чается в том, что их модель может быть построена только на ос­новании дополнительной информации, получаемой от человека, участвующего в решении проблемы. При этом исчезает почва для построения беспристрастных объективных моделей. Непонимание этого обстоятельства явилось причиной неудач в применении мно­гих «объективных» математических моделей.

Многие системы, включающие в себя людей очень трудны для изучения. Характеристики и поведение таких систем известно весьма неточно. Социологи и психологи, исследующие эти систе­мы, обычно выдвигают качественные гипотезы об их поведении, которые иногда можно проверить путем специальных обследований.

Так как граница между классами хорошо- и слабоструктуризованных систем не является четкой и однозначной, некоторые исс­ледователи наряду с общей схемой системного подхода использо­вали и «объективные» математические модели. Так появились мо­дели сложных человеческих систем - здравоохранения, воспитания и т.д. Записанные в математическом виде взаимосвязи не стали более объективными, однако, некоторые исследователи искренне верили, что можно построить объективную модель сложных соци­альных систем. Так, известный американский ученый, профессор Дж. Форрестер пишет: «Наши социальные системы несравненно бо­лее сложны и труднопонимаемы, чем технологические. Почему же тогда мы не используем аналогичный подход создания моделей со­циальных систем и проведения лабораторных экспериментов на них перед тем, как опробовать новые законы и программы в жизни?». И далее: «Сейчас имеется возможность конструировать модели со­циальных систем. Конечно, такие модели являются упрощением реальных социальных систем, но они могут быть значительно бо­лее понятными, чем прежние подходы.

Другие ученые не столь категоричны, понимая, что при построении моделей вносятся и субъективные оценки. Но часто модель начинала жить своей жизнью не зависимо от намерений ее создателей, выступая, как нечто, представляющее реальную ситу­ацию. Между тем, многие зависимости в сложных моделях отражают веру групп (иногда многочисленных) людей, что связи между определенными параметрами имеют такой-то (а не иной) вид, что причинно-следственные зависимости выхваченные из реальной жиз­ни, остаются справедливыми и в модели.

В известной модели мировой динамики Дж.Форрестера и Д.Медо­уза используются пять основных переменных: ресурсы, население, уровень жизни, капиталовложения, загрязнение среды. На основе построенной модели делаются выводы о кризисных ситуациях, ко­торые ожидают мир в конце нашего века. Работы Дж.Форрестера и Д.Медоуза важны тем, что привлекали общественное внимание к опасным процессам, происходящим в окружающем нас мире и взаи­мозависимости этих процессов. Но методология, на базе которой были проведены эти исследования, имеет серьезные дефекты и не раз подвергалась критике, основанной главным образом на том, что в настоящее время мы не располагаем информацией, необходи­мой для построения сколько-либо надежных и объективных моде­лей. Подвергаются сомнению даже основные причинно-следственные связи. Так, согласно данным одного исследования, в ближайшие годы изменения в технологии, вкусах потребителей, международ­ных отношениях будут играть большую роль в истощении ресурсов и загрязнении среды, чем рост населения.

Конечно, математические модели сложных человеческих систем могут разрабатываться не только для цели принятия решений. Они могут служить средством лучшего понимания таких систем. Если же говорить о проблемах уникального выбора, то абсолютно ясно, что сами математические модели не могут давать наиболее су­щественную часть информации, необходимую для принятия решения.

Как справедливо отмечает американский ученый Дж.Шлессинжер, «применимость методов исследования операций зависит от выпол­нения следующих условий: критерий (цель) может быть просто определен; может быть построена формальная модель, выражающая связи между критерием, переменными и существующими ограничени­ями; имеется достаточное количество информации, позволяющее провести разумное определение параметров. На практике наиболее вероятно выполнение этих условий на нижнем уровне, для техни­ческих и повторяющихся функций, иными словами - в узких оперативных, а не в широких политических решениях».

Существует множество проблем уникального выбора, для которых в последние 10-20 лет были построены «объективные» математи­ческие модели. В большинстве случаев эти модели остались без всякого применения. И, возможно, потому что, как сказал из­вестный американский экономист В.Леонтьев, «недостаток факти­ческих знаний об условиях существующих в реальном мире, зас­тавляет авторов модели основывать многие, если не все, общие заключения на различных априорных допущениях, выбранных из-за их удобств, а не из-за их отношения к наблюдаемым фактам» [9].

Вывод: не всепроблемы можно решить математическим моделированием. Существуют и такие, принятие верного решения в которых напрямую зависит от субъективных факторов.