Преобразование масштаба и температура

Решающая идея принадлежала Л.П. Каданову. Он сформулировал ее в 1966 году, когда работал в Университете Брауна. Не употребляя явно сам термин “самоподобие”, Каданов разработал основную концепцию, выражающую это понятие. Он исследовал, как будет выглядеть один и тот же магнит при использовании различных масштабов.

Вначале возьмем магнит при абсолютном нуле, когда все элементарные магниты выстроены в линию. Его вид не меняется при изменении масштаба. Простирается ли наше “окно для наблюдений” от 1 до 100 нанометров или же от 1 до 100 микрометров - мы видим идеальный порядок. Можно взять наименьшую различимую ячейку (нанометровый или соответственно микрометровый блок) в качестве элементарного магнита и обнаружить, что при абсолютном нуле они идеально выстроены в линию.

Похожую картину мы наблюдаем, меняя масштаб при “бесконечно” большой температуре. Здесь все атомные магниты флуктуируют абсолютно независимо друг от друга и на всех масштабах выше атомного наблюдается полный беспорядок. Таким образом, картины на нанометровой и микрометровой шкалах не отличаются друг от друга.

Что же происходит, когда температура больше нуля, но не бесконечна? Рассмотрим вначале низкие температуры. Здесь также есть макроскопический порядок, но он не вполне идеален, так как некоторые из атомных магнитов отклоняются от выделенной линии из-за тепловых флуктуаций. Сравнивая различные масштабы, мы замечаем различия. Так, например, флуктуации можно наблюдать при нанометровом масштабе, но не дальше. В микрометровом масштабе они незаметны, и магнит выглядит точно так же, как и при температуре абсолютного нуля. То есть, огрубление шкалы от нанометров до микрометров приводит к эффективному понижению температуры!

Рассмотрим теперь магнит при высоких температурах. Здесь беспорядок уже неполный. Всегда существуют локальные образования, в которых атомные магниты выстроены в линию. И вновь огрубление шкалы - масштабное преобразование - приводит к исчезновению этих небольших когерентных областей. При достаточно грубой шкале магнит выглядит точно так же, как и при бесконечно высокой температуре.

Эта стратегия напоминает процесс принятия решений. Чтобы оценить сложную ситуацию, часто бывает полезным рассматривать ее со все возрастающего расстояния. При этом детали размываются (становятся неразличимыми) и картина становится более ясной.

Суть этой идеи в том, чтобы связать масштабные преобразования с изменениями температуры. Если один и тот же магнит при заданной температуре рассматривать в различных масштабах, то он будет выглядеть так, как будто его температуры различны. Можно говорить, что масштабное преобразование вызывает соответствующую перенормировку температуры.

Рассмотрим магнит из N атомов с межатомным расстоянием а и с температурой Т. Если взять достаточно грубый масштаб, в котором элементарная ячейка содержит b³ атомов, а длина ее стороны равна a =b*a, то магнит будет выглядеть так, как будто он состоит из N=N/b³ атомов и имеет другую, пере нормированную температуру Т. Соотношение Т=R_b(T) называется преобразованием перенормировки.

Наше качественное обсуждение продемонстрировало, что это преобразование имеет два аттрактора, две точки притяжения: температуры Т = 0 и T=¥ . Действительно, в случае низких температур перенормировка температуры, связанная с переходом на более грубые масштабы, еще больше ее снижает, а при высоких температурах, наоборот, еще больше повышает.

Будем говорить, что низкие температуры находятся в области притяжения аттрактора Т = 0, а высокие - в области притяжения аттрактора Т = ¥ . Точки Кюри Т_с - граница между двумя областями притяжения. Когда магнит находится при этой температуре, он выглядит одинаково при любых масштабах, а его температура не изменяется при перенормировке R_b(Т_с) = Т_с просто потому, что он не может “решить”, к какому аттрактору ему следует направиться, На языке динамических систем мы говорим, что Т_с - репеллер процесса перенормировки. Если температура магнита даже весьма незначительно отклоняется от Т_с, то это отклонение увеличивается перенормировкой, а повторения (итерации) этого процесса ведут к одному из известных случаев, т. е. к идеальному порядку (Т=0) или к полному беспорядку (Т=¥ ).

Будем считать, что при Т = Т_с в магните существуют когерентные (согласованные) флуктуации любых масштабов, сплетенные воедино: малые флуктуации включены в большие и т. д. Короче говоря, флуктуации при критической температуре имеют самоподобную форму.

Перенормировка

В конечном итоге, используя эту основную идею, удалось получить количественные результаты и вполне удовлетворительно объяснить физику фазовых переходов. Путь от идеи перенормировки до ее конкретной законченной формы оказался столь трудноуловимым, что Каданову не удалось его отыскать. В 1970 году К. Г. Вильсону в Корнелльском университете удалось преодолеть эти трудности. Он развил метод перенормировок, превратив его в технический инструмент, который доказал теперь свою ценность в огромном числе приложений.

Развитие идеи перенормировки от предвидения Каданова до практического метода Вильсона имело любопытный побочный эффект: интуитивно ясная картина самоподобных флуктуаций в критической точке постепенно отошла на задний план, а сам метод стал весьма технически сложным и менее понятным.

Исследователи стали заниматься в основном вопросом о том, как быстро перенормировка выводит из окрестности критической точки. Кажется удивительным, что для объяснения экспериментальных результатов, касающихся феноменологии фазовых переходов, не нужно было явно использовать самоподобные структуры.

Однако недавно в теории перенормировок неожиданно появились фрактальные границы раздела фаз. При этом обнаружилась интуитивно привлекательная (хоть пока еще и не связанная с экспериментом) связь с идеей Каданова о самоподобии [2].

Фрактальные структуры

Иногда для описания сложных иерархических систем удобно применять фрактальный подход.

Фракталы - понятие, которое возникло в конце 80-х годов благодаря работам Б. Мандельброта [3]. Согласно его собственному пробному определению фрактал - это структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [4]. Иными словами, вырезав небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрактальности, мы можем рассмотреть ее в некотором увеличении и обнаружить, что она подобна всей структуре в целом. Вырезав еще более мелкую часть из уже вырезанной части и увеличив ее, мы обнаружим, что и она подобна первоначальной структуре. Если рассматривать идеальную фрактальную структуру, такую операцию мы можем проделывать до бесконечности, и даже самые микроскопические частички будут подобны структуре в целом. Реальные же объекты имеют довольно четко ограниченный интервал масштабов, в которых они проявляют свою фрактальную природу.

Распространенность фрактальных структур в природе невообразима. Фрактальны пористые минералы и горные породы; расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая и др. системы в организмах животных и человека; реки, облака, линия морского побережья, горный рельеф и многое другое. Мало того, фрактальны практически все поверхности твердых тел. В последнее время появляются теории фрактального строении физического вакуума.

Свойство частей быть подобными всей структуре в целом называют самоподобием. Интервал самоподобия различных природных объектов может содержать масштабы от долей микрометра при рассмотрении структуры пористых горных пород [5] и сплавов металлов до десятков километров при рассмотрении рельефа местности [6] и формы облаков. В качестве примеров естественных (природных) фракталов можно привести деревья, облака, реку и разветвленную сеть ее притоков, систему кровообращения человека, "морозные" узоры на стекле и т.д. Самоподобие предполагает, что копирование и масштабирование некоторого "эталонного" образа позволяет природе легко создавать сложную многомасштабную структуру.

Другим важным свойством фракталов является их иерархичность, т.е. способность повторяться в разных масштабах пространства и времени. Однако, существует четкий критерий принадлежности объекта к фракталам - объект нельзя считать фрактальным, если он не обладает свойством самоподобия, но можно - если он не иерархичен.

Регулярные фракталы

Интуитивно можно констатировать, что свойства природных фрактальных объектов чрезвычайно разнообразны и сложны, в силу чего для их исследования используются модельные фракталы, сгенерированные по специальным алгоритмам. Такие искусственные фрактальные объекты носят название "регулярные фракталы".

Рис. 2.5. Этапы построения линейного регулярного фрактала - триадной кривой Кох

 

Количественной характеристикой фрактала является фрактальная размерность. Для выяснения смысла этого фрактального показателя решим несложную задачу. Требуется подсчитать длину ломаной линии, полученной преобразованием отрезка единичной длины (рис. 2.5.). Алгоритм преобразования следующий:

1. отрезок единичной длины (рис. 11а) делится на 3 части, средняя часть отрезка отбрасывается и заменяется ломаной, состоящей из 2 отрезков длины 1/3 (рис. 2.5.б);

2. каждый прямой отрезок полученной ломаной преобразуется согласно пункту 1, и мы получаем более изощренную ломаную линию, показанную на рис. 2.5.в;

3. пункты 1 и 2 повторяются до исчерпания технических возможностей чертежного приспособления (рис. 2.5.д). Если продолжить этот процесс до бесконечности, мы получим линию, называемую кривой Кох. Поскольку на каждом шаге мы разбивали каждый отрезок на три части, точнее она называется триадной кривой Кох. Ведь каждый отрезок можно разбивать и на большее количество частей.

На первом шаге алгоритма длина отрезка а составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Кох вычисляется просто

L= 4*1/3 = 4/3 = 1,33 (2.2)

На втором шаге алгоритма длина элементарного отрезка а=1/9, длина кривой

L= 16*1/9 = 16/9 = 1,777 (2.3)

На третьем шаге алгоритма а=1/27

L= 64*1/27 = 64/27 = 2,370370 (2.4)

и т.д. Можно заметить, что с увеличением n длина элементарного отрезка а ® 0, а длина кривой L стремится к бесконечности:

L= (4/3)ⁿ (2.5)

a= (1/3)ⁿ (2.6)

где n= 1,2,3. Выражая n из (2.6), получаем: n= (1/ln3)*ln(1/a). Подставляя n в (2.5), получим

L= exp(n*ln(4/3))=exp((ln(4/3)/ln3)*ln(1/a) (2.7)

Обозначив D= ln4/ln3, получаем

L=a*(1/a)D-1 (2.8)

Из последнего соотношения видно, что постоянным показателем остается только величина D, поскольку она не зависит от масштаба измерения и является характеристикой данной линии "кривая Кох". Она называется фрактальной размерностью. С геометрической точки зрения фрактальная размерность является показателем того, на сколько плотно эта линия заполняет плоскость или пространство. Аналогичным образом можно рассчитать фрактальную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского (рис. 2.6.).

Рис. 2.6. Этапы построения плоскогорегулярного фрактала - салфетки Серпинского

 

Кривую Кох можно растянуть в прямую линию, поэтому ее топологическая размерность равна единице. Фрактальная размерность кривой Кох D=ln4/ln3 » 1,263 больше топологической размерности. Таким образом кривая является структурой, отличной от линии, но еще не ставшей плоскостью.

Похожий алгоритм используется для построения салфетки Серпинского (рис. 2.6.). Здесь из середины плоского треугольника вырезается треугольник с длиной стороны, равной половине длины стороны исходного треугольника. Фрактальная размерность этого построения лежит между 1 и 2.

Рис. 2.7. Фрактальный кластер,смоделированный нами на основании DLA-механизма

Фрактальные кластеры

Для описания фрактальных структур, встречающихся на микромасштабах, широко используют понятие кластер (рис. 2.7). Это - скопление близко расположенных, тесно связанных друг с другом частиц любой природы (атомов, молекул, ионов и иногда ультрадисперсных частиц) общим количеством 2-100 частиц. В последнее время термин кластер распространяется и на системы, состоящие из большого числа связанных макроскопических частиц.

Введено также понятие фрактального кластера, под которым понимают структуру, образующуюся в результате ассоциации частиц при условии диффузионного характера их движения. Основной чертой фрактального кластера является то, что средняя плотность частиц в нем r (r) падает по мере удаления от образующего центра по закону

r (r)= const / ra , (2.9)

где r- расстояние от центра.

Связь между размером кластера и числом частиц N (или массой фрактала) можно представить в виде:

N ~ R^D, (2.10)

где R - расстояние от центра кластера;

D = d - a - фрактальная размерность кластера;

d - размерность объемлющего пространства.

В другом виде это же соотношение можно представить следующим образом:

N =r (R/R₀)^D при N®¥ , (2.11)

где R₀ - размер частицы или мономера (все частицы полагаются равными по размеру);

r - плотность массы - учитывает тип упаковки и форму кластера.

Рис. 2.8. Этапы процесса компьютерного моделирования фрактала при помощи ССА-процесса

 

Размерность кластера D не зависит ни от его формы, ни от типа упаковки в нем частиц. Она лишь служит количественной характеристикой того, как кластер заполняет занимаемое им пространство [4]. Из соотношения (2.10) следует, что фрактальная система обладает свойством самоподобия. Оно формулируется следующим образом: если в окрестности точки, занятой кластером, выделить область относительно небольшого объема, то попадающие в него участки кластера будут подобны в физическом смысле. Таким образом, фрактальный кластер, построенный по случайному закону, имеет внутренний порядок, а свойство самоподобия следует понимать статистически[4].

Разработано множество модельных механизмов формирования фрактальных кластеров. Это во многом связано с развитием и все более широким внедрением вычислительной техники. Проведено огромное количество численных экспериментов [например, 5, 6, 7, 8], в которых выявлялись закономерности фрактальной природы реальных объектов на основе модельных механизмов. Среди моделей агрегации следует выделить модель агрегации, ограниченной диффузией (DLA или ОДА), модель ограниченной диффузией кластерной агрегации (DLCA) и модель кластер-кластерной агрегации (CCA).

Многие реальные физические процессы хорошо описываются DLA- моделью. Это прежде всего электролиз, кристаллизация жидкости на подложке, осаждение частиц при напылении твердых аэрозолей. В DLA- процессе на начальном этапе в центре области устанавливается затравочное зерно, затем из удаленного источника на границе области поочередно выпускаются частицы, которые совершают броуновское движение и в конечном итоге прилипают к неподвижному зерну. Таким образом происходит рост DLA- кластера.

При помощи ССА-процесса моделируются гелеобразование и формирование связанно-дисперсных систем (рис. 2.8). В этом процессе нет затравочного зерна. Все частицы совершают случайные блуждания и образуют кластеры, которые продолжают диффундировать, формируя кластеры больших размеров. В пределе система может превратиться в один гигантский кластер (рис. 2.8 в)[4].

Рис. 2.9. Дендритные кристаллы металла [9]

 

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении и механике деформируемых тел, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами. При этом внутренняя структура исследуемого объекта, как правило, игнорируется, а процессы образования структур и их взаимодействия между собой и с окружающей средой характеризуются интегральными термодинамическими параметрами.

Это приводит к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые, в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями. В некоторых случаях такая замена вполне оправдана. В то же время, известны ситуации, когда использование топологически неэквивалентных моделей принципиально недопустимо.

В металлических материалах существуют ячеистые или зернистые микроструктуры. Они могут иметь фрактальный или нефрактальный характер [10]. В последнем случае границы зерен, вследствие своей большой изрезанности обладают дробной фрактальной размерностью DÎ[2; 3]. Такая структура характерна для высокодеформированных границ. Существует даже термин “зубчатые границы”. Для них характерно самоподобие в широкой области пространственных масштабов[11].

Перколяция

В последнее время идеи фрактальной геометрии находят все большее применение при количественной оценке параметров реальных кристаллов, которые зачастую имеют очень сильные отклонения от правильной формы евклидовых многогранников [12]. В частности. это относится к дендритам - своеобразным “пористым” кристаллам, обладающим свойством самоподобия (рис. 2.9). Удобной мерой, характеризующей отклонение степени заполнения дендритом пространства от таковой для идеального кристалла, является его фрактальная размерность.

Фрактальные идеи с успехом применяются для описания протекания жидкостей через пористые среды. Иначе процесс протекания называется перколяцией (от англ. percolation - просачивание). Перколяция имеет место в ряде важных процессов: при фильтрации, в геологии при просачивании нефти сквозь тот или иной слой породы и т.д. Во всех этих случаях необходимо выяснить, будет ли протекать жидкость сквозь пористую среду, а если будет, то с какой скоростью?

Для решения этих задач используется решеточная модель. Рассматривается решетка, состоящая из узлов и связей между ними. Каждому узлу задается число X_i,j в интервале [0; 1], которое характеризует вероятность того, что в данную ячейку может просочиться жидкость

X_i,jÎ [0; 1], i = 1..N; j = 1..M, (2.12)

где N и M - размеры решетки по горизонтали и вертикали.

Задается пороговое значение вероятности X_П (например X_П = 0,45), которое определяет нижнее значение вероятности, при котором жидкость все еще может протечь в ячейку. В данном случае все ячейки с присвоенной им вероятностью X_i,j > 0,45 принципиально лишены возможности пропускать сквозь себя жидкость. X_П называется порогом перколяции и определяет степень пористости среды.

Ячейки с вероятностями меньшими пороговой способны заполняться и пропускать сквозь себя жидкость. Они называются порами. Компьютерное моделирование процесса протекания при заданном X_П заключается в том, что в решетку с одной стороны начинают "впрыскивать жидкость". Впрыснутая жидкость из любой поры может вторгнуться только в пору, непосредственно находящуюся рядом с данной. Так моделируются капиллярные каналы, или "связи" между порами.

Жидкость просачивается в поровое пространство, образуя кластер протекания или перколяционный кластер. Меняя значение порога перколяции X_П, получают перколяционные кластеры различных размеров. Условием успешного протекания жидкости является возникновение кластера, который простирался бы вдоль всей решетки и соединял бы ее противоположные стороны.

Можно представить два варианта перколяции. Идеальный вариант состоит в допущении, что поры среды, через которую осуществляется перколяция, заполнены вакуумом. Более реально рассматривать вариант, когда протекающая жидкость вытесняет какую-либо текучую среду, уже содержащуюся в пористом пространстве. Он может происходить при вытеснении несмешивающихся жидкостей, например в случае вытеснения воды маслом. На рис. 2.10 изображен перколяционный кластер, полученный в модели с вытеснением.

Рис. 2.10. Перколяционный кластер. Вытесняющая жидкость (черная) втекает через узлы на левой границе, а вытесняемая жидкость вытекает через правую границу

 

Выяснено, что для квадратной решетки существует определенное критическое значение пористости X_Пкр= 0,59275, при котором впервые появляется кластер, простирающийся на всю длину решетки. Численное моделирование на очень больших решетках показало, что вероятность образования кластера, протекающего на всю длину решетки, стремится к нулю при размере решетки, стремящейся к бесконечности.

При X_П >X_Пкр и X_П ® X_Пкр определяют вероятность протекания P_¥. Она определяется как вероятность того, что жидкость, впрыснутая в случайно выбранном узле решетки, оросит бесконечное множество пор:

P_¥~ (X_П - X_Пкр)b , (2.13)

где b = 5/36 = 0,1389... для двумерного и b = 0,4 для трехмерного протекания.

а

б

в

Рис. 2.11 Фрактальное множество мандельброта: а-общий вид; б-увеличенный фрагмент; в-фрагмент с еще большим увеличением.

Сложность моделирования заключается в том, что в реальной пористой среде существует большой разброс пор по размерам. Необходимо численно смоделировать процесс протекания, одновременно учитывая поры всех размеров. Для преодоления такого рода сложностей вводят два пространственных масштаба: минимальный a ₀ и максимальный, называемый длиной корреляции x . На масштабах больших x реальную пористую среду можно считать однородной и представлять в виде блоков с размерами x ´x ´x .

С другой стороны обнаружено, что при пористости среды X_П » X_Пкрит на масштабах [a ₀ ; x ] все характеристики среды подобны. При этом реальную пористую среду можно считать самоподобной в промежутке от минимального a ₀ до максимального x масштабов. Свойство самоподобия позволяет рассматривать поведение пористого слоя на произвольном масштабе L [a₀ ; x ].