Из истории теоремы Пифагора

Богатую историю имеет теорема, носящая имя Пифагора. Во времена самого

17

ученого ее формулировали так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Или в виде задачи: «Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах: S = S₁ + S₂» (рис. 1).

Согласно легенде, в честь своего открытия Пифагор принес в жертву сто быков (хотя согласно другой легенде он был вегетарианцем).

Известный немецкий писатель-романист А. Шамиссо писал:

Пребудет вечной истина, как скоро

Все познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За свет луча, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

18

Долгое время считалось, что до Пифагора эта теорема не была известна. В настоящее время установлено, что она встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора! Вероятно, тогда теорема еще не была доказана, а соотношение между гипотенузой и катетами было получено опытным путем. Была она известна и древним китайцам, и индусам. Таким образом, Пифагор не открыл замечательное свойство прямоугольного треугольника, но, вероятно, первым обобщил и доказал его, перенеся тем самым из области практики в область науки. К сожалению, сведения о доказательстве до нас не дошли.

Сегодня известно более ста различных доказательств теоремы Пифагора. Возможно, автором одного из них является сам ученый или его ученик. Отметим, что соотношение между катетами и гипотенузой, вероятно, сначала было установлено для равнобедренного прямоугольного треугольника.

По рис. 2 видим, что квадрат, построенный на его гипотенузе, разбивается диагоналями на четыре равных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, содержат по два таких же треугольника. Замечаем, что площадь большого квадрата равна сумме площадей малых квадратов.

Учащиеся средних веков считали доказательство теоремы Пифагора очень трудным и прозвали его «ослиным мостом» или «бегством убогих», так как слабые ученики бежали от геометрии, а те, кто заучивал теоремы наизусть, без понимания, были не в состоянии осилить теорему Пифагора: она служила для них чем – то вроде непреодолимого моста. Из – за иллюстрирующих

теорему чертежей учащиеся называли её также «ветреной мельницей»,

19

рисовали забавные карикатуры (рис. 3) и придумывали шутливые стишки вроде такого:

Пифагоровы штаны

Во все стороны равны.

Теорема Пифагора занимает в геометрии особое место. На её основе можно вывести или доказать большинство теорем. А ещё она замечательна тем, что сама по себе вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны a, b и c связывает простое соотношение: c² = а² + b² (рис. 4)

                                                           20

III . Разминка.

(Перед доказательством теоремы Пифагора рекомендуется провести устную разминку, предложив ученикам несколько заданий по готовым чертежам. В процессе их решения фактически воспроизводятся некоторые фрагменты будущего доказательства.)

1.Определите вид треугольника, изображенного на рис.5. Как называются стороны такого треугольника? Укажите названия каждой стороны данного треугольника.

2. По данным рис. 6 найти угол β.

3. По данным рис. 7 определите вид четырехугольника КМNР.

Замечание. В последней задаче учащиеся должны доказать, что четырехугольник КМNР — квадрат. Ее необходимо обсудить подробно, так как такая же конфигурация используется при доказательстве теоремы Пифагора.