Непрерывность функции двух переменных.

2019-12-29

255

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ

РЕФЕРАТ

НА ТЕМУ:

“ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”

ВЫПОЛНИЛ:

СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2

ПИВКОВ В.А.

ПРОВЕРИЛ:

ВОРОНОВА Е.А.

Г. Липецк - 2006

Содержание.

I. Функции нескольких переменных.

Определение функции нескольких переменных

Предел функции двух переменных

Непрерывность функции двух переменных

II. Частные производные

Частные производные

Полный дифференциал

Производная и дифференциал сложной функции

Неявные функции и их дифференцирования

III. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные высших порядков

Признак полного дифференцирования

Дифференциалы высших порядков

Список литературы

I. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.

Определение функции нескольких переменных.

Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.

Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции.

Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки M , либо как скалярную функцию векторного аргумента .

Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных . Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

Предел функции двух переменных.

Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству или называется δ-окрестность точки .

Определение. Число A называет пределом функции при стремлении точки M к точке , если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет место неравенство . Обозначают это так: или

Функция называется бесконечно малой при если

Непрерывность функции двух переменных.

Пусть точка принадлежит области определения . Определение. Функция называется непрерывной в точке если

или причем точка M стремится к M₀произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим , . Полным приращением при переходе от точки , к точке M называется разность значении функции в этой точке , т.е.

II. Частные производные.

Частные производные.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных в точке частные производные определяются так:

если эти пределы существуют. Величина называется частным приращением функции z в точке по аргументу . Используются и другие обозначения частных производных:

, , , ,

, , , .

Символы , , , как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке.

Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная есть скорость изменения функции относительно при постоянном .

Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Если , то , .

Пример 2. Если , то , . Величина называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

Полный дифференциал.

. (1)

Если приращение (1) можно представить в виде , (2)

Где Аи В не зависят от и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом :

. (3)

Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Действительно, если в точке функция дифференцируема, то для этой точки представимо в форме (2), откуда следует, что

а это и означает, что в точке функция непрерывна.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

В самом деле, пусть функция в точке дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем , имеем:

Деля на и переходя к пределу при , получаем:

Это означает, что в точке существует частная производная функции по и . (4)

Аналогично доказывается, что в точке существует частная производная

. (5)

Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде

Если положить , то , т.е. . Аналогично, полагая , получим . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке .

Доказательство. Дадим переменным и столь малые приращения и , чтобы точка не вышла за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение можно записать в виде .