Схематичное изображение ламинарного (a) и турбулентного (b) течения в плоском слое

Теоретические основы

Гидроаэромеханика – наука о движении и равновесии жидкостей и газов. При планировании физических экспериментов или при их проведении необходимо создавать теоретические модели, которые либо предсказывают возможные результаты этих экспериментов, либо объясняют уже полученные. Только в тесном взаимодействии теории и эксперимента можно понять то, что происходит в окружающем нас физическом мире. Для создания той или иной количественной или качественной модели физического явления необходим математический фундамент, на основе которого строятся такие модели. Под математическим фундаментом в данном случае подразумеваются те дифференциальные уравнения и те граничные и начальные условия, с помощью которых можно было бы описывать рассматриваемое физическое явление. Гидромеханика и предлагает модели и аппарат для исследования явлений, происходящих в жидкостях и газах.

Применение ЭВМ для решения задач гидроаэромеханики изменило методы решения задач. При пользовании ЭВМ решение производится часто прямым интегрированием исходной системы уравнений, описывающей движение жидкости или газа и все физические процессы, сопровождающие это движение. Прогресс теоретических методов гидроаэромеханики и развитие ЭВМ позволяют решать всё более сложные задачи.

Различают два режима течения жидкости:

Течение называют ламинарным, если, вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным, если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости.

Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях её движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течёт, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние от поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оси трубы.

При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие скоростей, перпендикулярные течению, поэтому они могут переходить из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости быстро возрастает по мере удаления от поверхности трубы, а затем изменяется довольно незначительно. Так как частицы жидкости переходят из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличаются между собой.

Схематичное изображение ламинарного (a) и турбулентного (b) течения в плоском слое

Задача теоретического описания турбулентности и перехода от ламинарного течения к турбулентному ещё остается загадкой современной физики. Продолжая исследования, описанные в пособии «Элементы гидроаэродинамики» была предпринята попытка более точного решения уравнения предложенного Л. Прандтлем, способного описать оба режима:

                       (1)

Здесь: профиль скоростей жидкости, движущейся в цилиндрической трубе при градиенте ,

параметр характеризующий время турбулентного перемешивания.

По сути, приведенное выражение τ – есть основной результат наших численных экспериментов, так как другие выражения τ, предложенные Л. Прандтлем, Т. Карманом, А.Д. Альтшулем, П.К. Конаковым приводят к противоречивым результатам: либо не монотонным профилям скоростей, либо бесконечным скоростям движения. Лучшие результаты получены на основе приведенного выше выражения А.А. Саткевича с поправкой на “прилипание” – α.

Решение уравнения (1) при этом записывается в виде

,           (2)

где , .

Подчеркнем, что решение (2) в отличие от известных полуэмпирических теорий всегда удовлетворяет естественным, физическим условиям: , что несложно проверить.

В частном случае решение (2) дает ламинарное решение Пуазейля (при малых γ): , и турбулентное решение (при больших γ):

Введённый нами параметр прилипания может быть сколь угодно малым. Его математический смысл прост, он позволяет исключить абсурдные бесконечные скорости на стенке, присущие полуэмпирическим теориям турбулентного течения. Он так же может характеризовать “прилипание” жидкости к стенке трубы.

Сопоставление решения (2) с другими данными велось на основе вычисления относительных скоростей течения:

                (3)  

Вычисление интеграла

Я воспользовался методом трапеций, который заключается в следующем:

В данном методе f(x) заменяется на линейный интерполяционный многочлен, т.е. на элементарном отрезке [ xi-1 , xi ] подынтегральная функция представляет собой отрезок прямой линии. Значение I в пределах [ xi-1 , xi ] , равное площади криволинейной фигуры, заменяется площадью прямоугольной трапеции с высотой hi и основаниями f(xi-1) , f(xi) :

Si = 0.5 (yi-1 + yi) hi ,  i=1,2,...n .

После сложения этих соотношений получим формулу трапеций

I = 0.5   

Если шаг интегрирования постоянный ( hi = h = const ) , то

I = h ( (y0 + yn)/2 + ) + R