Приближенное решение с помощью рядов

 

 

Запишем функцию в виде ряда:

 

Найдем производные первого и второго порядков от этой функции:

 

 

Разложим в ряд правую часть уравнения:

 

 

Полученные ряды подставим в исходное уравнение:

 

 

Найдем значения коэффициентов

 

 

 

Подставим найденные значения в разложение функции в ряд и построим график функции:

 

 

 

Численное решение методом Эйлера

 

Перепишем условие следующим образом:

x'=z

z'+ 5z=29cos t

z'=29cos t – 5z

Задаём начальные данные:

 

 

Находим значение x и x'

 

 

Для сравнения решим это дифференциальное уравнение с шагом 0,01. Построим график.

 

Численное решение методом Рунге-Кутты четвертого порядка

 

Определяем функцию D, задающую производные и находим значения функции. Строим график функции:

 

 

 

Расчет погрешности приближенного и численных методов

 

Таблица 1 – Значения функции

Заданный интервал	Точное решение	Приближенное с помощью рядов	Метод Эйлера (шаг 0,1)	Метод Эйлера (шаг 0,01)	Метод Рунге Кутты
0	-1,000000	-1,000000	-1,000000	-1,000000	-1,000000
0,1	-0,933240	-0,933240	-1,000000	-0,938953	-0,933221
0,2	-0,753725	-0,753766	-0,855000	-0,762488	-0,753695
0,3	-0,488339	-0,488787	-0,601974	-0,498255	-0,488302
0,4	-0,159271	-0,161707	-0,270096	-0,168991	-0,159232
0,5	0,214972	0,205973	0,117337	0,206412	0,215012
0,6	0,618801	0,592753	0,541466	0,612091	0,618840
0,7	1,038952	0,975227	0,986812	1,034588	1,038989
0,8	1,464038	1,326187	1,440495	1,462384	1,464072
0,9	1,884213	1,612712	1,891659	1,885536	1,884245
1	2,290920	1,794271	2,331055	2,295416	2,290950

 

Таблица 2 – Локальная, абсолютная и относительная погрешность

	Абсолютная погрешность				Относительная погрешность
	Решения с помощью рядов	метода Эйлера (шаг 0,1)	метода Эйлера (шаг 0,01)	метода Рунге Кутты	Решения с помощью рядов	метода Эйлера (шаг 0,1)	метода Эйлера (шаг 0,01)	метода Рунге Кутты
Локальная погрешность	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,0	0,0	0,0	0,000
	0,000000	0,066760	0,005713	-0,000019	0,0	-6,7	-0,6	0,002
	0,000041	0,101275	0,008763	-0,000030	0,0	-11,8	-1,1	0,004
	0,000448	0,113635	0,009916	-0,000037	-0,1	-18,9	-2,0	0,008
	0,002436	0,110825	0,009720	-0,000039	-1,5	-41,0	-5,8	0,024
	0,008999	0,097635	0,008560	-0,000040	4,4	83,2	4,1	-0,019
	0,026048	0,077335	0,006710	-0,000039	4,4	14,3	1,1	-0,006
	0,063725	0,052140	0,004364	-0,000037	6,5	5,3	0,4	-0,004
	0,137851	0,023543	0,001654	-0,000034	10,4	1,6	0,1	-0,002
	0,271501	-0,007446	-0,001323	-0,000032	16,8	-0,4	-0,1	-0,002
	0,496649	-0,040135	-0,004496	-0,000030	27,7	-1,7	-0,2	-0,001

 

Совместное графическое решение

 

Рисунок 1 – Совместное графическое решение

 

Из всех методов наиболее точным оказался метод Рунге-Кутты, его максимальная относительная погрешность 0,024%, относительная погрешность приближенного метода составила 27,7%. Метод Эйлера с шагом 0,1 имеет наибольшую погрешность 83,2%, однако при уменьшении шага в до 0,01 его погрешность составляет всего 5,8%. Это подтверждает то, что погрешность метода Эйлера сильно зависит от принятого шага. Проанализировав графическое решение делаем вывод о том, что методы Эйлера и Рунге-Кутты повторяют форму кривой точного решения, а график приближенного решения с увеличением аргумента всё сильнее отклоняется от искомого графика – свидетельство того, что погрешность решения с помощью рядов зависит от количества членов ряда. Характер кривой также говорит о том, что точность приближенного решения с помощью рядов удовлетворительна только вблизи некоторой точки.