Точное решение операторным методом
12 Курсовая работа
На тему:
«Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad »
Екатеринбург 2010 Краткие теоретические сведения
Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка:
y(n) = f (x, y, y’, y’’… y(n-1))
Общее решение этого уравнения зависит от n-произвольных постоянных. Точное решение дифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шаге процесса. Принцип операторного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциального уравнения y(n) = f (x, y, y’, y’’… y(n-1)) в пространство Лапласа мы получаем изображение F(s), которое зависит только от одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точное решение дифференциального уравнения. Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0) = y0, причём известно, что f (x, у) – аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда: y (x) – y (x0) =
Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо с помощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовой работе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х – х0. К численным методам относятся методы, позволяющие находить приближенное решение при некоторых значениях аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты). Если a – точное решение, то абсолютной погрешностью приближенного значения a* называют величину Д(а*), которая определяется следующим образом:
|a*-a| ≤ Д(a*)
Относительной погрешностью Дa приближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующим образом:
|(a*-a)/ a* | ≤ д(a*)
Таким образом, эти две погрешности связаны между собой:
д(a*) = Д(a*) / |a*|
Относительную погрешность часто выражают в процентах. Числа a* и Дa принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой. Дифференциальное уравнение
Получить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать локальную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения. Дано: 2x''+5x'=29cos t x(0)= -1 x'(0)=0 Точное решение операторным методом
Пусть X(s) изображение, а х(t) оригинал. Продифференцируем левую часть уравнения: 2x''+5x'=5*(s2*X-s*x(0) – x'(0))+5*(s*X-x(0)) Подставим данные значения x(0) и x'(0) в уравнение и получим: x''-3x'+2x= 2*(s2*X+s)+5*(s*X+1)=X*(2s2+5s)+s*2+5 Преобразуем правую часть уравнения в пространство Лапласа Найдем значение изображения: Given
Сопоставим изображению оригинал:
Найдем значения функции, построим её график:
дифференциальный уравнение эйлер операторный
12
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (165)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |