Дерево Фейгенбаума и Множество Мандельброта

Если вы когда-либо видели формулу множетсва Мандельброта z=z2 + x, вы могли бы заметить схожесть между этой формулой и самой простой из формул для построения дерева Фейгенбаума x2 - r. И это действительно так. Сходство существует. Но фейгенбаумово дерево растет в другую сторону. Измените формулу Фейгенбаума на x2 + r и вы увидите сходство. Что касается множества Мандельброта, вам нужно смотреть вдоль горизонтальной оси, так как это единственная позиция в которой комплексная часть числа Мандельброта равна нулю. Вы увидите, что основное тело фигуры Мандельброта находится там, где функция в дереве Фейгенбаума принимает лишь одно значение. Когда происходит первое разделение линии (бифуркация) появляется новое тело на фигуре Мандельброта и т.д. Обратите также внимание на то, что когда в дереве открывается главное окно, на фигуре Мандельброта появляется дочернее тело.

Рисунок 19. Дерево Фейгенбаума и Множество Мандельброта.

Постановка задачи

Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, т.е. при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки не менее десяти алгебраических и не менее двух геометрических фракталов.

Решение.

Решением данной задачи является программный продукт при помощи которого можно просмотреть по несколько образцов алгебраической и геометрической фрактальной графики. Программа должна иметь встроенное увеличение (многократное), пропорциональное истинному размеру изображения. Интерфейс необходим светлый, приятный, возможно в тонах Windows XP. Нам, например, подойдёт использование градиентной заливки самой формы. Учитывая то, что человек не любит долгие ожидания программа не использует большой размер холста, однако и при данном размере удаётся рассмотреть все достоинства фрактальной графики. Программа использует стандартные возможности сохранения графического изображения в формате *. bmp и не может загружать в себя графические изображения этого формата, т.к эта программа не для просмотра, а для генерации изображений. В программе использованы небесные цвета, она имеет дружественный интерфейс и проста в обращении. Каждая кнопка, параметр и другие органы управления подписаны так, что в справке программа не нуждается, однако она всё же дополнена справкой во избежание конфликтов со стандартами. Возможностями программы доступны прорисовки двадцати одного алгебраического и трёх геометрических фракталов.

Структура.

Программа состоит из двух форм (основной и формы с именами разработчиков и их логотипом). На главной форме могут располагаться два интерфейса:

Алгебраические фракталы

Геометрические фракталы.

Так же имеется окно справки.

Дальнейшая структура интерфейса будет описана в разделе "Руководство пользователя".

Программная структура представляет собой набор функций, каждая из которых является "формулой" прорисовки одного фрактала. И процедуры самой прорисовки.

Рисунок 20. Схема работы программы.

Данной схемой (Рисунок 20) представлен внутренний принцип работы программы. Использование одной процедуры прорисовки значительно уменьшает код и объём компонентов интерфейса. Однако представление каждой формулы множества отдельной функцией значительно уменьшает время прорисовки.