Нахождение прогнозных значений методом экспоненциального сглаживания

Метод экспоненциального сглаживания наиболее эффективен при разработке среднесрочных прогнозов. Он приемлем при прогнозировании только на один период вперед.

Рабочая формула метода экспоненциального сглаживания:

 (2)

где t – период, предшествующий прогнозному; t +1– прогнозный период;  - прогнозируемый показатель;  - параметр сглаживания; -фактическое значение исследуемого показателя за период, предшествующий прогнозному; экспоненциально взвешенная средняя для периода, предшествующего прогнозному.

При прогнозировании данным методом возникает два затруднения:

1) выбор значения параметра сглаживания α;

2) определение начального значения U _о.

От величины α будет зависеть, как быстро снижается вес влияния предшествующих наблюдений. Чем больше α, тем меньше сказывается влияние предшествующих лет. Если значение α близко к единице, то это приводит к учету при прогнозе в основном влияния лишь последних наблюдений; если близко к нулю, то веса, по которым взвешиваются уровни временного ряда, убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все (или почти все) прошлые наблюдения. Таким образом, если есть уверенность, что начальные условия, на основании которых разрабатывается прогноз, достоверны, следует использовать небольшую величину параметра сглаживания (α→0). Когда параметр сглаживания мал, то исследуемая функция ведет себя как средняя из большого числа прошлых уровней. Если нет достаточной уверенности в начальных условиях прогнозирования, то следует использовать большую величину α, что приведет к учету при прогнозе в основном влияния последних наблюдений.

Точного метода для выбора оптимальной величины параметра сглаживания α нет. В отдельных случаях автор данного метода профессор Браун предлагал определять величину α, исходя из длины интервала сглаживания. При этом α вычисляется по формуле:

 (3)

где n – число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.

Задача выбора U_о (экспоненциально взвешенного среднего начального) решается следующими путями:

1) если есть данные о развитии явления в прошлом, то можно воспользоваться средней арифметической, и U _о равен этой средней арифметической;

2) если таких сведений нет, то в качестве U _о используют исходное первое значение базы прогноза Y ₁.

Также можно воспользоваться экспертными оценками.

Используем метод экспоненциального сглаживания для составления прогнозных значений. Величина параметра сглаживания для показателя численности населения составит: , для показателей «число родившихся» и «число умерших», «число прибывших» и «число выбывших»: . Значения близки к нулю, следовательно, веса, по которым взвешиваются уровни временного ряда, убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все (или почти все) прошлые наблюдения.

Определяем начальное значение U _о для показателя численности населения двумя способами:

1 Способ (средняя арифметическая):

2 Способ (первое значение базы прогноза):

Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого года, используя формулу 2, занесем результаты в таблицу.

Таблица 4

Расчет прогнозного значения численности населения Оренбургской области методом экпоненциального сглаживания.

Величина средней относительной ошибки при расчете 2-м способом выше, но оба значения свидетельствуют о высокой точности прогноза.

Данные о прогнозных значениях показателей других демографических показателей, представим в таблице (расчет полученных параметров в Приложении 2).

Таблица 5

Прогнозные значения абсолютных показателей родившихся и умерших, прибывших и выбывших в Оренбургской области, полученные методом экспоненциального сглаживания.

Абсолютный показатель, человек	2006	2007	2008	Прогноз на 2009		Δ			ε
I способ определения экспоненциально взвешенного среднего начального
Родившиеся	23 335	25 776	26 947	23 915		-135		3 275	9,94
Умершие	31 583	31 000	30 904	30 754		64		2 571	8,14
II способ определения экспоненциально взвешенного среднего начального
Родившиеся	23 335	25 776	26 947	25 150		-4296		5 386	20,14
Умершие	31 583	31 000	30 904	29 557		1 241		2 965	14,91
I способ определения экспоненциально взвешенного среднего начального
Прибывшие	31 949	25 570	28 053	37 366	-3539		15857			35,27
Выбывшие	33 225	29 085	25 603	36311	-2070		8458			20,04
II способ определения экспоненциально взвешенного среднего начального
Прибывшие	31 949	25 570	28 053	41 292	-16856		19228			49,84
Выбывшие	33 225	29 085	25 603	38 162	-8348		9757			24,83

Так же как и с показателем численности населения, величина средней относительной ошибки при расчете 2-м способом выше, что свидетельствует о нецелесообразности применения первого значения базы прогноза в качестве экспоненциально взвешенной U _о . В целом точность прогноза для показателей естественного движения населения находится в границах высокой точности, для показателей миграционного движения точность прогноза удовлетворительная.