Нахождение прогнозных значений методом наименьших квадратов

демографический прогноз население численность

Сущность метода наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами. Расчетные величины находятся по подобранному уравнению – уравнению регрессии.

Чем меньше расстояние между фактическими значениями и расчетными, тем более точен прогноз, построенный на основе уравнения регрессии. Теоретический анализ сущности изучаемого явления, изменение которого отображается временным рядом, служит основой для выбора кривой. Иногда принимаются во внимание соображения о характере роста уровней ряда. Для нахождения прогнозных значений численности населения часто предполагается, что рост идет в геометрической прогрессии, и тогда сглаживание производится по показательной функции.

 

 (4)

 

где - численность населения в прогнозный период; - численность населения в период, предшествующий прогнозному; е - основные натурального логарифма; k - общий коэффициент прироста населения, выраженный в долях единиц, рассчитанный по формуле:  (5)

где M - число родившихся за период; N – число умерших за период; П- число прибывших за период; В – число выбывших за период; S – средняя численность населения за период; t- период, на который разрабатывается прогноз.

Согласно имеющимся данным, численность населения Оренбургской области на 1 января 2008 года составила 2 119 003 чел., на 1 января 2009 – 2 111 531 чел., за 2008 год родилось 26 947 чел., умерло 30 904 чел., 25 570 чел. прибыло и 29 085 чел. выбыло. Рассчитаем численность населения в 2010-2012 гг. при условии, что коэффициент общего прироста населения ( ) останется неизменным на всем протяжении прогнозных лет:

 

 чел.

 чел.

чел.

 

Сглаживание временных рядов методом наименьших квадратов служит для отражения закономерности развития изучаемого явления. В аналитическом выражении тренда время рассматривается как независимая переменная, а уровни ряда выступают как функция этой независимой переменной. Ясно, что развитие явления зависит не от того, сколько лет прошло с отправного момента, а от того, какие факторы влияли на его развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Развитие явления во времени выступает как результат действия этих факторов.

Правильно установить тип кривой, тип аналитической зависимости от времени – одна из самых трудных задач предпрогнозного анализа.

Подбор вида функции, описывающей тренд, параметры которой определяются методом наименьших квадратов, производится в большинстве случаев эмпирически, путем построения ряда функций и сравнения их между собой по величине среднеквадратической ошибки, вычисляемой по формуле:

 

 (6)

 

где – фактические значения ряда динамики;  – расчетные (сглаженные) значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда; р – число параметров, определяемых в формулах, описывающих тренд.

С помощью программы Excel проверим предположение о том, что изменение численности населения в Оренбургской области, хорошо апроксимируется экспоненциальной линией тренда.

 

Рис. 1. Динамика численности населения в Оренбургской области с экспоненциальной линией тренда.

 

Видно, что разница между фактическими и сглаженными значениями данного ряда очень велика. Невысокий коэффициент достоверности аппроксимации также подтверждает, что использовать данный тип тренда нецелесообразно.

Наибольшее приближение к фактическим уровням данного динамического ряда дает функция полинома второй степени.

 

Рис. 2. Динамика численности населения в Оренбургской области с полиномиальной линией тренда.

 

При использовании уравнения полинома третьей степени, коэффициент аппроксимации увеличивается до 0,97, но при этом усложняется и сама модель, что может отрицательно сказаться на ее прогностических возможностях.

Уравнение регрессии примет вид:

 

(7)

 

- выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i; а - это средний (выровненный) уровень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. t = 0; b - это средний за весь период среднегодовой прирост, который изменяется равномерно со средним ускорением, равным 2с; c - константа, главный параметр параболы II порядка.

Параметры a , b и c оцениваются методом наименьших квадратов и отвечают принципу максимального правдоподобия: сумма квадратов отклонений фактических уровней от тренда (от выровненных по уравнению тренда уровней) должна быть минимальной для данного типа уравнения.

На диаграмме уравнение тренда имеет вид: ,где =0 в 1990г.

При этом нумерация периодов начинается с t=1. Однако рациональнее начало отсчета времени перенести в середину ряда, т.е. при нечетном п - на период (момент) с номером (п +1 )/2, а при четном числе уровней ряда - на середину между периодом с номером n /2 и (n/2)+1. Расчет параметров тренда при переносе отсчета времени на середину ряда приведен в приложении 3. Тогда уравнение тренда принимает вид:  , где =0,5 в 2000г.

За период 1990-2009г показатель численности населения в Оренбургской области убывал в номинальной оценке ускоренно, со средним ускорением человек за год; средняя убыль населения за весь период составила 3 087 человек; средний уровень численности населения на середину периода был равен 22 084 35 чел.

Для оценки надежности тренда необходимо оценить надежность его главного параметра – ускорения. Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки параметра с вычисляется по формуле:

 

(8)

 

Где S ( t ) – оценка генерального показателя колеблемости, учитывающая потерю степеней свободы и определяемая по формуле 6.

Используя данные приложения 3, найдем искомые величины:

 

 

Отношение параметра с (половина ускорения) к его средней ошибке - это t-критерий Стьюдента:

Табличное значение критерия Стъюдента  Фактическая величина критерия больше табличного, следовательно, вероятность нулевой гипотезы (о равенстве параметра с нулю) чрезвычайно мала. Достоверно известно, что тренд существовал, и что численность населения Оренбургской области снижалась не случайно.

Прогноз по этой модели заключается в подстановке в уравнение тренда номера периода, который прогнозируется. Для 2010 года период времени t = 10,5, прогнозное значение составит:

 

₂₀₁₀= =2 069 907 чел.

 

Полученное прогнозное значение является точечным и не учитывает колеблемость уровней показателя.

При прогнозе с учетом случайной колеблемости учитывается как вызванная колеблемостью ошибка репрезентативности выборочной оценки тренда, так и колебания уровней в отдельные периоды (моменты) относительно тренда.

Общая формула средней ошибки прогноза положения параболического тренда на период с номером  от середины базы расчета тренда имеет вид:

 

(9)

 

Средняя ошибка тренда на 2010 год равна:

 

 

Вероятность того, что фактическая ошибка не превысит одного среднего квадратического отклонения, т.е. m равна при нормальном распределении 0,68. Чтобы получить доверительный интервал прогноза линии тренда с большей вероятностью, например с вероятностью 0,95,среднюю ошибку нужно умножить на величину t-критерия Стъюдента для вероятности 0,95 и n - p степеней свободы.

Получаем вероятную ошибку:

 

 

с вероятностью 95% можно утверждать, что тренд численности населения в Оренбургской области в 2010 году проходит в границах 2 069 907±13 307 или от 2 056 600 до 2 083 214 человек.

Определив ошибку репрезентативности выборочной оценки тренда, и колебания уровней в отдельные периоды (моменты) относительно тренда, получаем единую формулу средней ошибки прогноза конкретного отдельного уровня:

 

 (10)

 

Для искомого прогнозного значения: 11 286 .

Таким образом, для прогнозного значения показателя численности населения на 1 января 2010 года определены границы доверительного интервала 2 046 096 – 2 093 718 человек.

Аналогично рассчитываем прогнозные значения на 2011-2012 годы:

 

₂₀₁₁=2 045 646 чел.

 

Доверительный интервал: (2 020 126; 2 071 166).

 

₂₀₁₂=2 019 459 чел.

 

Доверительный интервал: (1 991 780; 2 047 138)

Средняя относительная ошибка , что свидетельствует о высокой точности прогноза.

Расчет прогнозных значений для других показателей приведен в приложении 3, сведем полученные результаты в общую таблицу:

 

Таблица 5

Прогнозные значения абсолютных показателей родившихся и умерших, прибывших и выбывших в Оренбургской области, полученные методом наименьших квадратов.

Абсолютный показатель, человек	2006	2007	2008	Прогноз на 2009	Прогноз на 2010	Прогноз на 2011	Δ		ε
Родившиеся	23335	25776	26947	29 253	31 220	33 395	0	1135	4,13
Умершие	31 583	31 000	30 904	30 190	29 392	28 470	0	1420	3,69
Абсолютный показатель, человек	2007	2008	2009	Прогноз на 2010	Прогноз на 2011	Прогноз на 2012	Δ		ε
Прибывшие	31 949	25 570	28 053	29 586	31 144	33 202	0,11	3499	7,68
Выбывшие	33 225	29 085	25 603	24 352	22 589	20 826	0	2437	5,17

 

Величины относительной ошибки свидетельствуют о высокой точности прогноза. По имеющимся данным видно, что при наметившихся тенденциях естественный прирост населения в прогнозируемые годы увеличится (увеличение рождаемости и снижение смертности), как и миграционный прирост.

Для сравнения полученных результатов составим сводную таблицу по всем применяемым методам:

 

		Численность постоянного населения на 1 января, человек
		МСС			МЭС			МНК

2007