Нахождение показателей Ляпунова для особых точек. Определение характера особых точек.
1) точка O (0,0). Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) , и приравняем левые части к нулю. В итоге получим:
= , (2.8) (2.9)
где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . В результате получим
(2.10)
(2.11) Условие разрешимости системы имеет вид:
, D = (2.12) = . Таким образом видимо, что корни рациональны и имеют разные знаки. Следовательно точка О является седлом. 2) Точка . Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) , и приравняем левые части к нулю. В итоге получим:
= , (2.13) (2.14)
где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . В результате получим
(2.15) (2.16)
В итоге ляпуновские показатели для точки S будут следующими:
= . (2.17)
Таким образом видно, что корни также рациональны и имеют разные знаки. Следовательно, точка S является седлом. 2) Точка . Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) , и приравняем левые части к нулю. В итоге получим:
= , (2.18) (2.19) где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . В результате получим
(2.20) (2.21)
В итоге ляпуновские показатели для точки S будут следующими:
= . (2.22)
Проведем анализ полученных результатов. С учетом того, что в формуле (2.22) присутствует радикал то можно сделать вывод, что при значениях параметра , ограниченных сверху величиной
= , (2.23)
ляпуновские показатели вещественны и отрицательны а с ростом до значений превышающих критическое, они становятся комплексными с отрицательной действительной частью. Следовательно, в этих пределах точка F представляет устойчивые узел и фокус соответственно. Можно сделать вывод, что системы, в которых предпочтителен колебательный режим реализуются, если интенсивность процессов аннигиляции жертвы мала по сравнению с интенсивностью процесса ее поглощения хищником. С другой стороны, характерное время автономной эволюции хищника должно быть малым в сравнении с соответствующим временем для жертвы. Построение фазовых портретов Для построения фазовых портретов были использованы слабый численный метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. Среда реализации – математический пакет Matlab. Для получения данных, численно интегрировалась обезразмеренная система дифференциальных уравнений (2.3), (2.4). Полученные результаты изображены на рис. 2.1-2.2.
Рисунок 2.1. — Фазовый портрет системы «Хищник-жертва»: режим регрессии.
Рисунок 2.2. — Фазовый портрет системы «Хищник-жертва»: режим регрессии. Волны пластической деформации
Постановка задачи Необходимо получить уравнение с безразмерными величинами, определить координаты особых точек. Найти показатели Ляпунова для особых точек, определить характер их устойчивости. Построить фазовые портреты системы.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (281)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |