Основные свойства преобразования Лапласа

Реферат

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА переходных КОЛЕБАНИЙ в электрических цепях

 

Орел 2009

Содержание

Вступление

Основные свойства преобразования Лапласа

Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме

Операторные схемы замещения

Литература

ВСТУПЛЕНИЕ

 

Действия над многозначными числами, как известно, существенно упрощаются при использовании логарифмов. Так операция умножения сводится к сложению логарифмов, деление – к вычитанию логарифмов и т. д. Каждому числу соответствует свой логарифм и поэтому логарифм можно рассматривать как своего рода изображение числа.

Так, например, , следовательно, в этой системе 2 есть изображение числа 100.

В основе операторного метода также лежит понятие об изображении. Однако если в случае логарифмов речь шла об изображении числа, то в операторном методе используется изображение функций времени. Здесь каждой функции времени , определенной в области , соответствует некоторая функция новой переменной и, наоборот, функции переменной  соответствует определенная функция времени .

Функция  называется оригиналом, функция  – изображением, а переменная  – оператором.

Фраза "функция  имеет своим изображением " условно записывается так .

Знак  называют знаком соответствия.

Основанный на таком представлении функций метод получил название операторного и используется для аналитического решения линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в теории электрических цепей. Решение задачи при этом как бы разбивается на 3 этапа.

На первом этапе осуществляется переход из временной области в операторную, на втором – решение задачи в операторной форме и на третьем – обратный переход в область реального времени.

Основные свойства преобразования Лапласа

 

Нахождение изображений функции времени (равно как и обратные переходы от изображений к оригиналу) выполняются с помощью специальных интегральных преобразований, приводимых в курсе высшей математики. В настоящее время в большей части современной технической литературы операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа, в основе которого лежит соотношение:

 

.

 

Важно отметить, что функции, описывающие реально возможные воздействия и соответствующие им реакции, всегда преобразуемы по Лапласу. Полученную в результате такого преобразования функцию называют иногда лапласовым изображением функции  или ее -изображением и обозначают:

 

.

 

Отыскание -изображения заданной функции называется прямым преобразованием Лапласа, а нахождение  по известному  – обратным преобразованием Лапласа.

Основные свойства и правила этих преобразований:

Свойство единственности . Каждому оригиналу (исходной функции) соответствует единственное изображение и наоборот, каждому изображению соответствует единственный оригинал.

Свойство линейности. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений:

 – оригинал;

 

 – изображение.

 

Преобразование операции дифференцирования. Если оригинал  представляет производную от некоторой функции

 

,

 

то его изображение имеет вид:

 

.

 

При нулевых начальных условиях (ННУ)  и , т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на оператор (при ННУ).

 

Преобразование операции интегрирования . Если оригинал представляет от некоторой функции интеграл:

 

,

 

то его изображение имеет вид: , т. е. интегрированию оригинала соответствует деление его изображения на оператор .

Теорема запаздывания (оригинала). Если , то , где  — время запаздывания, т. е. запаздыванию оригинала на время  соответствует умножение его изображения на экспоненциальный множитель .

Теорема смещения (изображения). Если , то , т. е. умножению оригинала на экспоненциальный множитель  соответствует смещение его изображения на величину .

Решение задач прямого и обратного преобразований Лапласа существенно упрощаются в тех случаях, когда удается использовать справочные таблицы, которые содержат пары оригинал – изображение. Эти таблицы приводятся в справочниках.

Следует учесть, что при обратном преобразовании Лапласа полученные функции иногда не подходят под табличные. В этом случае используется разложение этой функции на простые дроби или в ряд с последующим применением обратного преобразования Лапласа.