Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме
12
Возможность существенного упрощения решения задачи анализа колебаний в электрических цепях операторным методом основывается на том, что для -изображений колебаний формально верны законы Кирхгофа и Ома. Действительно, согласно первому закону Кирхгофа:
Если обе части этого равенства подвергнуть преобразованию Лапласа, то оно переходит в равенство: ,
и следовательно, алгебраическая сумма -изображений токов в любом узле цепи равна нулю. Аналогично доказывается справедливость второго закона Кирхгофа для операторных напряжений в контуре:
.
При выводе закона Ома в операторной форме будем полагать, что реактивные элементы находятся при ННУ (конденсатор разряжен, через катушку индуктивности не протекает ток). Рассмотрим соотношения в элементах электрических цепей. Элемент резистивного сопротивления. – операторное резистивное сопротивление,
– резистивная операторная проводимость.
Таким образом, операторное напряжение на резистивном сопротивлении равно произведению сопротивления на величину операторного тока. Элемент индуктивности. – операторное индуктивное сопротивление,
– операторная индуктивная проводимость.
Следовательно, операторное напряжение на индуктивности равно произведению операторного индуктивного сопротивления на величину операторного тока. Элемент емкости. – операторное емкостное сопротивление,
– операторная емкостная проводимость.
Операторное напряжение на емкости равно произведению операторного емкостного сопротивления на величину операторного тока. Выражения
представляют закон Ома в операторной форме. Выводы: – законы Кирхгофа и Ома справедливы и в операторной форме, причем закон Ома справедлив только при нулевых начальных условиях; – все ранее изученные методы анализа электрических цепей (метод контурных токов, метод узловых напряжений, метод эквивалентного генератора и др.) справедливы и в операторной форме.
Операторные схемы замещения реактивных элементов
Часто коммутация осуществляется в момент времени, когда реактивные элементы обладают энергией. В этом случае они находятся при ненулевых начальных условиях и к ним нельзя применить закон Ома в операторной форме. Для устранения этого препятствия используют прием, суть которого состоит в том, что физически один реактивный элемент искусственно заменяют двумя: операторным источником, отражающим энергию реактивного элемента на момент коммутации, и самим реактивным элементом, но находящимся теперь уже при нулевых начальных условиях. Такое изображение называется схемой замещения. Ее можно получить, используя свойства преобразования Лапласа:
. Так, для индуктивности с током схемы замещения имеют вид, показанный на рисунке 1. а) б) в) Рис. 1
Они являются следствием преобразования следующих выражений:
;
Здесь следует иметь в виду два обстоятельства: направление операторного тока должно совпадать с направлением тока через индуктивность в момент непосредственно предшествующий коммутации и второе, что реально существует один элемент, поэтому операторный ток через индуктивность в схеме замещения определяется в общей ветви (рис. 1б). Заряженная емкость отображается схемами замещения, показанными на рисунке 2б, в. а) б) в) Рис. 2
Они являются следствием преобразования следующих выражений:
,
.
Здесь напряжение операторного источника совпадает с напряжением на емкости до коммутации, а операторное напряжение на емкости определяется между зажимами 1 – 1¢. Применение операторных схем замещения реактивных элементов, находящихся при ненулевых начальных условиях, дает возможность применять закон Ома в операторной форме, что широко используется на практике и, в частности, при рассмотрении свободных колебаний в электрических цепях. Известно, что такие колебания возникают за счет энергии, запасенной реактивными элементами при отключении внешних источников. Следует иметь в виду, что указанная коммутация может осуществляться как путем механического отключения, так и путем гашения источников. В последнем случае источник напряжения заменяется коротким замыканием, а источник тока – обрывом. При решении задач приходится осуществлять переход от обычной к операторной схеме. Если реактивные элементы находятся при ННУ, то такой переход не вызывает особых затруднений. Например, на рисунке 3, а показана исходная схема, а на рисунке 3, б – эквивалентная ей операторная.
а) б) Рис. 3
Если же реактивные элементы находятся при ненулевых начальных условиях, то в операторной схеме они должны быть отображены схемами замещения. Пример. Пусть в цепи, изображенной на рисунке 4 в момент замыкается ключ "К". Требуется определить эквивалентную ей операторную схему.
Рис. 4
Так как реактивные элементы в данном случае находятся при ненулевых начальных условиях, то предварительно следует определить и . Для этого изобразим эквивалентную схему цепи при (рис. 5). Рис. 5
Видно, что ; .
Таким образом ; и соответствующая этому схема показана на рисунке 6.
Рис. 6
Далее находится требуемая реакция в операторной форме, а затем осуществляется переход в область реального времени. Вывод: нахождение реакций при ненулевых начальных условиях требует применения схем замещения в операторной форме и является более сложной задачей, чем при ННУ. Литература
1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986. 2. Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях. – Орел: ОВВКУС 1981.
12
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (187)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |