Вывод формул для вычисления площадей треугольников и
Четырехугольников.
Самыми распространенными видами многоугольников являются треугольник, параллелограмм, прямоугольник, квадрат и трапеция. Для выведения их площадей будем использовать две леммы: Лемма 1 . Каковы бы ни были положительные числа a и b, существует прямоугольник, смежные стороны которого соответственно равны a и b. Лемма 2. Если через точку, лежащую на стороне прямоугольника, проведена прямая, перпендикулярная к этой стороне, то эта прямая пересекает противоположную сторону прямоугольника и разлагает прямоугольник на два прямоугольника. Площадь квадрата
Пусть стороны AB и AD квадрата точками Р1, Р2,…,Рn-1 и Q1, Q2,…, Qn-1 разделены на n равных частей. Проведем через точки Р1, Р2,…,Рn-1 прямые, перпендикулярные к прямой AB, тогда, согласно лемме 2, данный квадрат разлагается на n прямоугольников. (рис. 5а).
Далее проведем через точки Q1, Q2,…, Qn-1 прямые, перпендикулярные к прямой AD. Тогда каждый из этих прямоугольников разлагается на n квадратов. В результате квадрат разлагается на n 2 равных друг другу квадратов. (рис. 5б). Если площадь каждого из этих квадратов равна s, а пло щадь квадрата равна S, то согласно условию А2 имеем:
Отсюда, в частности, следует, что если сторона квадрата равна n, где n – натуральное число, n>1, то квадраты, на которые разлагается этот квадрат, построены на единичном отрезке, поэтому s=1 и, следовательно,
Теорема 2. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. ○ Пусть S – площадь данного квадрата , и a – длина его стороны. Докажем, что
Рассмотрим сначала случай, когда а – рациональное число, т.е. , где p и q – натуральные числа. Если q = 1, то утверждение теоремы непосредственно следует из формулы (***), поэтому предположим, что q > 1. Рассмотрим квадрат 1, сторона которого равна p, и разобьем его на q 2 равных друг другу квадратов так, как было показано выше. Так как p = а q , то сторона каждого из этих маленьких квадратов равна а, поэтому эти квадраты равны квадрату . Следовательно, их площадь равна S. По формуле (**) S =р2, а по формуле (*) S ( 1) = p 2 = q 2 s . Отсюда следует, что
Рассмотрим теперь случай, когда а – иррациональное число. Допустим, что формула (***) неверна, т.е. S≠a 2 и, следовательно, . Пусть для определенности Подберем рациональные числа α1 и α2 так, чтобы α1< а < α2 и α2 – α1 < ε. Ясно, что площадь данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной α1 и площадью квадрата со стороной α2 (рис. 6).
Согласно сказанному α12 < S < α22 или α1 < < α2. Отсюда, учитывая, что α1< а < α2, получаем: - а < α2 – α1, т.е. ε < α2 – α1. Это неравенство противоречит неравенству α2 – α1 < ε, следовательно, наше предположение неверно, т.е. S=a2 ●
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (208)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |