Другое определение обобщённой производной

Введение

 

Пространства Соболева  и тесно связанное с ним понятие обобщённой производной в смысле Соболева были введены в математическую практику академиком С.Л. Соболевым и играют важнейшую роль в теоретических и прикладных вопросах математической физики и функционального анализа. Пополнение пространства гладких функций  некоторыми идеальными элементами, которые можно с любой степенью точности вычислить с помощью элементов из  приводит, с одной стороны, вследствие полноты  к точности и завершённости многих математических утверждений, а с другой стороны, сохраняет все вычислительные возможности.

Пространства Соболева

Общее определение

 

Пусть в  задана замкнутая ограниченная область  Рассмотрим линейное пространство вещественных функций  раз непрерывно дифференцируемых на  Дифференцируемость на замкнутой области  можно понимать в различных смыслах. Мы будем предполагать, что в  функции  раз непрерывно дифференцируемы, причём каждая частная производная функции  имеет предел при стремлении  к любой граничной точке области  так что в результате её продолжения на  она становится непрерывной в  Граница  области  предполагается достаточно гладкой. Кроме того, обычно мы будем считать область  односвязной и удовлетворяющей таким дополнительным ограничениям, которые могут понадобиться в тех или иных рассуждениях.

Воспользуемся для краткости следующими обозначениями. Набор индексов  называется мультииндексом. Число  называется длиной мультииндекса. Для обозначения частных производных примем

 

 

Введём в рассмотренном выше линейном пространстве норму

 

                                                           (1.1)

 

Полученное нормированное пространство обозначается  Его пополнение в норме (1.1) обозначается  и называется пространством Соболева.

В прикладных задачах довольно часто встречается случай  Общепринято следующее обозначение:  Пространство Соболева  является гильбертовым пространством – пополнением пространства  в норме, порождённой скалярным произведением

 

 

Ниже мы подробнее остановимся на частных случаях  и  то есть рассмотрим пространства Соболева на вещественной оси и в трёхмерном пространстве.

 

1.2 Пространство

 

Рассмотрим на отрезке  пространство  состоящее из всевозможных функций  непрерывно дифференцируемых на  со скалярным произведением

 

                                                  (1.2)

 

и соответствующей этому скалярному произведению нормой

 

                                                                 (1.3)

 является пополнением  в этой норме. Элементами  согласно теореме о пополнении, являются классы, состоящие из последовательностей  фундаментальных в  в среднем, точнее, таких, что

 

 при

 

Две такие последовательности  и  принадлежат одному классу, если  является бесконечно малой по норме  то есть, если

 

 при

 

Из условия фундаментальности в среднем  в  следует, что отдельно при

 

 

Аналогично, из условия эквивалентности  и  по норме  следует, что при

 

 

Согласно определению пространства  существуют функции  и  такие, что при  а  в среднем.

Мы приходим к следующему важнейшему определению. Пусть  Тогда в  определены элемент  с представителем  и элемент  с представителем  называется обобщённой производной (в смысле Соболева) от  При этом пишут:

Из определения обобщённой производной  видно, что она определяется не локально, в отдельных точках, а глобально – сразу на всём отрезке  Пусть  так что  Перейдём к пределу при  в равенствах

 

     (1.4)

 

                             (1.5)

 

и, согласно теореме о пополнении и определению интеграла Лебега, придём к формулам (1.2) и (1.3), где теперь производные понимаются в обобщённом смысле, а интеграл – в смысле Лебега. Для конкретных вычислений, разумеется, можно и нужно пользоваться формулами (1.4) и (1.5), взяв достаточно большое  то есть вместо идеальных элементов  воспользоваться их гладкими приближениями

 

Другое определение обобщённой производной

 

Пусть  – множество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке  финитных функций  Если теперь  непрерывно дифференцируема на отрезке  то для произвольной функции  справедливо следующее интегральное тождество:

 

                                                         (1.6)

 

проверяемое интегрированием по частям. Этим тождеством  полностью определяется.

Допустим, что, кроме того, для любых  и некоторой непрерывной на отрезке  функции

 

                                                          (1.7)

 

Вычитая эти тождества, получим, что для любых

 

 

Отсюда, вследствие плотности  в  на отрезке  Оказывается, интегральное тождество (1.7) можно принять за определение обобщённой производной. Прежде всего, справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Если  то для любых  справедливо тождество (1.6).

Доказательство. Пусть  тогда для всех  имеем (1.6):

 

 

Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения в последнем равенстве можно перейти к пределу при  В результате мы получим тождество (1.6) для любой функции  Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть даны  такие, что для всех  справедливо тождество (1.7). Тогда  (обобщённая производная).

Доказательство. Пусть  а  Тогда

 

 при

 

для любого

Пусть  – класс, представителем которого является  

Тогда  для любых  Отсюда  Лемма доказана.