Простейшая теорема вложения

Теорема 1.  вложено в

Доказательство. Пусть  непрерывно дифференцируема на отрезке  Согласно теореме о среднем, вследствие непрерывности  найдётся точка  такая, что  Поэтому на отрезке  справедливо следующее тождество:

С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем

где  Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке  функции  справедливо неравенство

                                         (1.8)

Пусть теперь последовательность  – фундаментальная по норме  Тогда

при  Следовательно,  фундаментальна в смысле равномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной сходимости, сходится к  Тем более  в среднем. Таким образом, в классе из  содержащим  в качестве представителя, содержится непрерывная функция  и, значит, этот класс можно отождествить с  Отождествим элементы  с непрерывными функциями. Пусть  Переходя в неравенстве  к пределу при  придём к неравенству (1.8).

Итак, вложение  в  доказано. Доказательство теоремы закончено.

1.5 Пространства Соболева  и

Пусть  – односвязная область с достаточно гладкой границей  В замкнутой области  рассмотрим линейное пространство всевозможных непрерывно дифференцируемых функций  со скалярным произведением

При этом

               (1.9)

Полученное пространство со скалярным произведением обозначается  а его пополнение – это, по определению, пространство Соболева

Пусть  – фундаментальная последовательность в  то есть  при  Отсюда следует, что в  будут фундаментальными последовательности

Вследствие полноты  в  имеются элементы, которые мы обозначим

так что при  в среднем

Элементы  называются обобщёнными частными производными элемента

Скалярное произведение и норма задаются в  теми же формулами, что и в  в которых теперь производные обобщённые, а интегрирование понимается в смысле Лебега. Введем в рассмотрение пространство  Это пространство является пополнением в норме

(1.10)

линейного пространства функций, непрерывно дифференцируемых на  и таких, что  является гильбертовым пространством со скалярным произведением

Лемма 3. Если  а  то

Доказательство. Достаточно доказать первую из этих формул. Она справедлива, если  а  Пусть  – фундаментальная в  последовательность, предел которой – элемент  Переходя в тождестве  к пределу при  получим для любой  Действительно, из сходимости в  следует, что

 то есть непрерывность скалярного произведения.

Пусть теперь  – фундаментальная последовательность в  Перейдём к пределу в тождестве  и получим исходное тождество.

Следствие.  содержится строго внутри

Действительно, функция  Но  иначе мы имели бы  то есть  для любой  Возьмём  и получим противоречие.

Теорема 2 (Фридрихс). Существует постоянная  такая, что для любых

Доказательство. По самому определению  всякий элемент из  принадлежит  Пусть  и сходится в  к

Построим куб  содержащий область  Функции  доопределим нулём в  Частная производная  существует всюду в  за исключением, быть может, тех точек, в которых прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает границу  области  Для любой точки  имеем

По неравенству Коши-Буняковского

Интегрируя полученное неравенство по  находим

Так как  вне  то

Переходя к пределу при  приходим к доказываемому неравенству Фридрихса.

Следствие 1. Пространство  вложено в

Это предложение непосредственно вытекает из определения вложения банаховых пространств и неравенства Фридрихса.

Следствие 2. В  нормы (1.9) и (1.10) эквивалентны.

Действительно, используя неравенство Фридрихса, имеем