Процедура оценки параметров распределения Вейбулла

Сравнив оценки параметров для остальных семейств распределений, предлагаемых системой «Statistica», можно сделать вывод, что только для распределения Вейбулла (при оценивании по минимуму суммы взвешенных квадратов, т.е. по третьему алгоритму Weight 3) отсутствует значимое отличие от наблюдаемых значений: c²-критерий не даёт значимого отклонения (p=0,58). Следовательно, распределение Вейбулла с таким набором параметров описывает наблюдаемые времена жизни наилучшим образом. Однако стоит заметить, что исследователь ограничен в выборе лишь из трех представленных наборов параметров.

Ниже представлены графики функции выживания для семейства распределений Вейбулла, подогнанные на основе трех алгоритмов (Weight1, Weight2, Weight3).

Рис.5. Графическое представление эмпирической функции выживания и теоретических кривых распределения Гомпертца.

В заключение отметим, что имеется возможность анализировать в качестве исходных табулированные данные. Для этого нужно выбрать закладку Таблица времен жизни ( Table of Survival Times ) в диалоговом окне Таблицы и распределения времен жизни. В этом случае файл с табулированными данными должен содержать три переменные со следующей информацией:

а) нижняя граница временных интервалов;

б) количество цензурированных наблюдений;

в) число отказов (умерших) в каждом временном интервале.

Если не удается получить хорошую подгонку к наблюдаемым данным, то для определения формы функции надежности можно использовать независимые от распределения методы оценки параметров, т.н. непараметрические оценки (доступные в окне результатов). В этом случае предусмотрен метод Каплана-Майера, позволяющий получить оценку предела функции надежности (выживания). Эта оценка не зависит от предположения о природе распределения исходных данных.

II . Оценки Каплана–Майера

Как указывалось выше, одна из задач анализа выживаемости состоит в оценке функции выживания S(t).

Если все наблюдения являются полными ( completed ), то оценка S(t) строится просто: подсчитывается количество пациентов, проживших t дней после проведения операции, и делится на общее число пациентов. При наличии неполных ( censored ) наблюдений ситуация усложняется: требуется строить таблицу времен жизни (механизм ее построения был подробно изложен в предыдущем параграфе).

В случае цензурированных (но не группированных) наблюдений имеется также возможность оценить функцию выживания непосредственно, не используя таблицу времен жизни. Такой метод впервые был предложен Капланом и Майером (Kaplan & Meier (1958)). .

Его основная идея состоит в следующем. Пусть массив исходных данных содержит зафиксированные последовательно в хронологическом поряд­ке отдельные наблюдения (события). Если исходить из того, что каждое наблюдение содержит точно один временной интервал, то перемножая вероятности выживания в каждом интервале получим следующую формулу для функции выживания:

, где

S ( t ) – оценка функции выживания,

n – общее число наблюдений (объем выборки),

j – порядковый (хронологический) номер отдельного события (наблюдения),

- индикатор цензурирования. Причем , если j-e событие означает отказ (смерть), и , если речь идет о потере наблюдения для дальнейшего исследования независимо от причин.

П - произведение по всем наблюдениям j, завершившимся к моменту времени t.

Так как приведенная оценка функции выживания состоит из произведения нескольких со­множителей, она также носит название мультипликативной (множительной).

Обратимся к тому же файлу исходных данных, который использовался для построения таблиц времен жизни. Оценки Каплана-Майера функции выживания, построенные по этим данным, показаны в следующей таблице:

Таблица 8

Результаты оценки функции выживания методом Каплана-Майера.

В первом столбце таблицы показаны номера наблюдений, для которых в соответствующий момент времени произошло некоторое событие. Знаком «+» обозначены цензурированные наблюдения (пациент был выписан).

Из таблицы видно, что вероятность того, что пациент проживёт больше 47 дней, равна 0,9097; вероятность того, что пациент проживёт больше 66 дней, равна 0,7161 и т.д.

Следует обратить внимание на стандартные ошибки полученных оценок. Стандартная ошибка функции выживания достаточно мала.

Сравним ошибками функции выживания ( Cum . Prop Survivng ), рассчитанной для таблиц времен жизни в табл.3).

Таблица 9