Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Решение дифференциальных уравнений




Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

 

у' = f(x)

 

и начальное условие его решения:

 

у'(х0) = у0..

 

Тогда решить уравнение — это значит найти такую функцию у — φ(х), которая, будучи подставленной, в исходное уравнение, обратит его в тождество и одновременно будет удовлетворено начальное условие. Задача отыскания функции у = φ (х) называется в математике задачей Коши. При решении дифференциального уравнения порядка n задача Коши формулируется следующим образом.

Дано дифференциальное уравнение порядка n:

 

у(n) = f(x, y, у',…,yn-1)

 

Необходимо найти такую функцию у = φ (х), которая, будучи подставленной в исходное уравнение, обратит его в тождество и одновременно будут удовлетворены следующие п начальных условий:

 

у(х0) = у0

у'(х0) = у'0

. . .

уn-10) = уn-10


Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта обладает более высокой точностью, чем методы Эйлера за счет снижения методических ошибок. Идея метода состоит в следующем.

По методу Эйлера решение дифференциального уравнения первого порядка определяется из соотношения:

 

yi+1 = yi + Δyi;

 

где Δyi = hf (хi, yi) = hу' (хi, yi).



Тогда приращение Δ yi, может быть найдено путем интегрирования:

 

 

Или окончательно

 

 

Вычислим теперь интеграл по методу прямоугольников:

 

yi+1 = yi + (xi+1 - xi)f(xi, yi) = yi + hf(xi, yi).

 

Из полученного выражения видно, что вычисление интеграла по методу прямоугольников приводит к формуле Эйлера.

Вычислим интеграл по формуле трапеций:

 


yi+1 = yi +0,5h(f(xi, yi)+ f(xi+1, yi+1))

 

Из выражения видно, что оно совпадает с расчетной формулой усовершенствованного метода Эйлера-Коши. Для получения более точного решения дифференциального уравнения следует воспользоваться более точными методами вычисления интеграла. В методе Рунге-Кутта искомый интеграл представляется в виде следующей конечной суммы:

 

 

где Pi — некоторые числа, зависящие от q ; Ki(h) — функции, зависящие от вида подынтегральной функции f(x,y) и шага интегрирования h, вычисляемые по следующим формулам:

 

K1(h) = hf(x, y);

K2(h) = hf(x + a2h, y + β21K1(h));

K3(h) = hf(x + a3h, y + β 31K1(h) + β 32K2(h));

Kn(h) = hf(x + aqh, , y + β q1K1(h) + ... + β q,q-1Kq-1(h)).

 

Значения p, α, β получают из соображений высокой точности вычислений. Формулы Рунге-Кутта третьего порядка (q= 3) имеют следующий вид:

 

K1=hf(xi, yi);

K2=hf(xi + 0,5h, yi+0,5 K1);

K3=hf(xi+h, yi+K1+2K2).


Наиболее часто используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, для которого расчетные формулы имеют следующий вид:

 

K1=hf(xi, yi);

K2=hf(xi + 0,5h, yi+0,5 K1);

K3=hf(xi+0,5h, yi+0,5K2).

K3=hf(xi+h, yi+K3).

 

Формулы Рунге-Кутта имеют погрешности порядка h q+1 . Погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка имеет порядок h5

4.2 Описание программы ” РЕШЕНИЕ ОДУ “

Программа ”Решение ОДУ“ достаточно проста в использовании.

При запуске программы открывается главное окно программы (рис. 4), с установленными по умолчанию начальными условиями в полях ввода.

Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Читайте также:
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (113)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.026 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7