Решение дифференциальных уравнений

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

у' = f(x)

и начальное условие его решения:

у'(х₀) = у_0..

Тогда решить уравнение — это значит найти такую функцию у — φ(х), которая, будучи подставленной, в исходное уравнение, обратит его в тождество и одновременно будет удовлетворено начальное условие. Задача отыскания функции у = φ (х) называется в математике задачей Коши. При решении дифференциального уравнения порядка n задача Коши формулируется следующим образом.

Дано дифференциальное уравнение порядка n:

у⁽ⁿ⁾ = f(x, y, у'^’,…,y^n-1)

Необходимо найти такую функцию у = φ (х), которая, будучи подставленной в исходное уравнение, обратит его в тождество и одновременно будут удовлетворены следующие п начальных условий:

у(х₀) = у₀

у'(х₀) = у'₀

. . .

у^n-1(х₀) = у^n-1₀

Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта обладает более высокой точностью, чем методы Эйлера за счет снижения методических ошибок. Идея метода состоит в следующем.

По методу Эйлера решение дифференциального уравнения первого порядка определяется из соотношения:

y_i+1 = y_i + Δy_i;

где Δy_i = hf (х_i, y_i) = hу' (х_i, y_i).

Тогда приращение Δ y_i, может быть найдено путем интегрирования:

Или окончательно

Вычислим теперь интеграл по методу прямоугольников:

y_i+1 = y_i + (x_i+1 - x_i)f(x_i, y_i) = y_i + hf(x_i, y_i).

Из полученного выражения видно, что вычисление интеграла по методу прямоугольников приводит к формуле Эйлера.

Вычислим интеграл по формуле трапеций:

y_i+1 = y_i +0,5h(f(x_i, y_i)+ f(x_i+1, y_i+1))

Из выражения видно, что оно совпадает с расчетной формулой усовершенствованного метода Эйлера-Коши. Для получения более точного решения дифференциального уравнения следует воспользоваться более точными методами вычисления интеграла. В методе Рунге-Кутта искомый интеграл представляется в виде следующей конечной суммы:

где Pi — некоторые числа, зависящие от q ; K_i(h) — функции, зависящие от вида подынтегральной функции f(x,y) и шага интегрирования h, вычисляемые по следующим формулам:

K₁(h) = hf(x, y);

K₂(h) = hf(x + a₂h, y + β₂₁K₁(h));

K₃(h) = hf(x + a₃h, y + β ₃₁K₁(h) + β ₃₂K₂(h));

K_n(h) = hf(x + a_qh, , y + β _q1K₁(h) + ... + β _q,q-1K_q-1(h)).

Значения p, α, β получают из соображений высокой точности вычислений. Формулы Рунге-Кутта третьего порядка (q= 3) имеют следующий вид:

K₁=hf(x_i, y_i);

K₂=hf(x_i + 0,5h, yi+0,5 K₁);

K₃=hf(x_i+h, y_i+K₁+2K₂).

Наиболее часто используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, для которого расчетные формулы имеют следующий вид:

K₁=hf(x_i, y_i);

K₂=hf(x_i + 0,5h, yi+0,5 K₁);

K₃=hf(x_i+0,5h, y_i+0,5K₂).

K₃=hf(x_i+h, y_i+K₃).

Формулы Рунге-Кутта имеют погрешности порядка h ^q+1 . Погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка имеет порядок h⁵

4.2 Описание программы ” РЕШЕНИЕ ОДУ “

Программа ”Решение ОДУ“ достаточно проста в использовании.

При запуске программы открывается главное окно программы (рис. 4), с установленными по умолчанию начальными условиями в полях ввода.