Перечень условных обозначений

Содержание

 

Перечень условных обозначений

Введение

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации  сверхразрешимых групп

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

 

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами  обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;

 и  --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 --- пустое множество;

 --- множество всех , для которых выполняется условие ;

 --- множество всех простых чисел;

 --- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

 --- дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида ;

 --- множество всех целых положительных чисел.

 --- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись  означает, что  предшествует  в упорядочении , .

Пусть  --- группа. Тогда:

 --- порядок группы ;

 --- порядок элемента  группы ;

 --- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

 --- множество всех простых делителей порядка группы ;

 --- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

--группа --- группа , для которой ;

--группа --- группа , для которой ;

 --- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 --- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 --- коммутант группы ;

 --- --холловская подгруппа группы ;

 --- силовская --подгруппа группы ;

 --- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

 --- группа всех автоморфизмов группы ;

 ---  является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;

 ---  является нормальной подгруппой группы ;

 --- подгруппа  характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма ;

 --- индекс подгруппы  в группе ;

 

;

 

 --- централизатор подгруппы  в группе ;

 --- нормализатор подгруппы  в группе ;

 --- центр группы ;

 --- циклическая группа порядка ;

Если  и  --- подгруппы группы , то:

 --- прямое произведение подгрупп  и ;

 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы .

Группа  называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 --- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

Группу  называют --нильпотентной, если .

Группу  порядка  называют --дисперсивной, если выполняется  и для любого  имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение  таково, что  всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь  называется -цепью (с индексами ); если при этом  является максимальной подгруппой в  для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.

Ряд подгрупп  называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого .

Нормальный ряд называется главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

 --- класс всех групп;

 --- класс всех абелевых групп;

 --- класс всех нильпотентных групп;

 --- класс всех разрешимых групп;

 --- класс всех --групп;

 --- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть  --- некоторый класс групп и  --- группа, тогда:

 --- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых . Если  --- формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  --- формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация  называется насыщенной, если всегда из  следует, что и . Класс групп  называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы  также принадлежит .

Пусть  --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа  группы  называется:

-нормальной, если ;

-абнормальной, если .

Максимальная -цепь  называется -субнормальной, если для любого  подгруппа -нормальна в . Подгруппа  группы  называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.

Группа  называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп  и  группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе  существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в  подгрупп плотно.

 

Введение

 

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп  удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп  из , где  не максимальна в , найдется -подгруппа  такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.

В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа  является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп

 

 

такая, что  является -нормальной максимальной подгруппой в  для любого . Если  совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если  --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда  --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда  --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.

 

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации  сверхразрешимых групп

 

Пусть  --- произвольная -замкнутая насыщенная формация сверхразрешимых групп,  --- несверхразрешимая группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда каждая -абнормальная максимальная подгруппа из  либо принадлежит , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.

Доказательство. Предположим, что  не -дисперсивна, где  таково, что  равносильно . Так как  --- формация -дисперсивных групп, то, по лемме , лемма верна. Пусть теперь -дисперсивна. В этом случае лемма верна по лемме . Лемма доказана.

Пусть  --- произвольная насыщенная -замкнутая формация сверхразрешимых групп,  --- несверхразрешимая -группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда  --- группа одного из следующих типов:

1)  --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой , ;

2) , где ,  содержит такую абелеву подгруппу , нормальную в , что  --- минимальная несверхразрешимая группа, являющаяся в  максимальной подгруппой непростого индекса, подгруппа  сверхразрешима, где  --- любая максимальная подгруппа из ;

3) , ,  --- минимальная нормальная подгруппа группы , подгруппа , где  --- произвольная максимальная подгруппа из , является либо сверхразрешимой, либо минимальной не -группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;

4) , , где  --- минимальная нормальная подгруппа группы , , подгруппа ,  является либо минимальной несверхразрешимой группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;

5) , ,  --- минимальная нормальная подгруппа из ,  --- абелева группа,  и  --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппа  либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, где  --- произвольная максимальная подгруппа из ;

6) , , где ,  --- минимальные нормальные подгруппы группы , ,  --- минимальная несверхразрешимая группа;

7) , ), где  --- минимальная нормальная подгруппа группы ,  сверхразрешима, подгруппа , где  --- произвольная максимальная подгруппа группы , либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) или 4) из данной теоремы;

8) ,  и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы , , ,  со следующими свойствами: ,  --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппы  и  принадлежат , где  --- максимальная подгруппа из ,  --- максимальная подгруппа из ;

9) ,  и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы , , ,  со следующими свойствами:  сверхразрешима,  --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы, , где  --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо  и  является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы, , где  --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо  и  является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы.

Доказательство. По лемме, группа  разрешима. Если группа  не дисперсивна по Оре, то к ней применима теорема, и данная теорема верна. Поэтому далее мы будем полагать, что группа  дисперсивна по Оре.

1. Рассмотрим вначале случай , где  и  --- различные простые числа. По лемме в группе  любая -абнормальная максимальная подгруппа либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой группой у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Эти два случая мы и рассмотрим.

1.1. Пусть в  имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме,  является минимальной несверхразрешимой группой и  --- абелева группа. Так как , то либо , либо . Если предположить, что , то  и . Поэтому  немаксимальна в  и, по лемме, -субнормальна в . Отсюда, по теореме , . Противоречие. Значит, ,  и . Из того, что группа дисперсивна по Оре,  и , следует, что . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в  существует -субнормальная подгруппа  такая, что . Ясно, что  и, значит,  сверхразрешима. Следовательно, -субнормальна в  и в , где  --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем. что подгруппа  сверхразрешима. Итак, в данном случае  --- группа типа 2) из данной теоремы.

1.2. Пусть теперь в  все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме,  --- -группа. По лемме, либо  --- максимальная подгруппа в , либо  --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе  группы .

Пусть вначале  максимальна в . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Если