Применение общей схемы к исследованию функций
Теоретический материал, который требуется для изучения исследований функций с помощью производной уже известен учащимся. В данной теме фактически систематизируются знания учащихся, относящиеся к вопросам нахождения промежутков возрастания (убывания) и экстремумов, показывается общий метод получения результатов. Таким образом, изучение этой темы завершает рассмотрение теоретических вопросов, связанных с исследованием функций. Все положения, которые нужно отразить в решении задания на исследование, имеют теоретические обоснования, общие методы решения. В ходе изучения этой темы учащиеся должны научиться проводить исследование функций по общей схеме и строить их графики. Построения графика функции необходимо начинать с исследования функции, которое состоит в том, что для данной функции: 1) находят ее область определения; 2) выясняют, является ли функция четной или нечетной, является ли периодической; 3) точки пересечения графика с осями координат; 4) промежутки знакопостоянства; 5) промежутки возрастания и убывания; 6) точки экстремума и значения в этих точках; 7) исследуют поведение функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю ; На основании такого исследования строится график функции. Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума. Пример 1. Исследуем функцию и построим ее график. Проведем исследование по указанной схеме. 1) , так как - многочлен. 2) Функция не является ни четной, ни нечетной 3) График пересекается с осью ординат в точке чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение , один из корней легко найти . Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Промежутки знакопостоянства не находим. 4) Найдем производную функции : , поэтому критических точек, для которых не существует, нет. Заметим, что , если , т.е. при значениях аргумента, равных 0,-1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки. Составляем таблицу:
В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции. Критическая точка равная 0 функции не является точкой экстремума [2]. Строим график функции (рис.1). Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице.
Пример 2. Исследовать функцию 1) 2) Функция четная, исследование ее можно проводить на промежутке . 3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, т.е. решим уравнение . Пусть тогда уравнение примет вид: или , т.е. или , не имеет решения. Получили две точки пересечения с осью абсцисс . График пересекает ось ординат в точке . 4) Найдем производную функции 5) Найдем критические точки функции: а) , если , , или , или б) определена на всей 6) Определим знак производной на промежутках, найдем значения в точках -1, 0, 1. Полученные данные занесем в таблицу и построим график [2].
Построим график данной функции (рис. 2): Приведем примеры заданий для самостоятельной работы по исследованию функций. Исследуйте функцию и постройте ее график: 1) 2) 3) 4) 5) После изучения данной темы учащимся предлагается контрольная работа. Контрольная работа по теме «Производная и ее применение» I вариант 1. Дана функция . Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . 2. Постройте график функции . 3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . 4. В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой ? 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . II вариант 1. Дана функция . Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . 2. Постройте график функции . 3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . 4. В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой ? 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [10].
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (205)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |