Типичные ошибки учащихся при исследовании функций

При проведении исследования функций учащиеся часто допускают ошибки. Большое число ошибок допускается при построении графиков функции с использованием производной.

а) Пусть требуется исследовать с помощью производной функцию  и построить ее график. Результаты исследования функции оформим в виде таблицы (таб. 1).

Таблица 1

				0
	+	0	−	0	+		−
				0
		Max		min		max

Покажем ошибочные эскизы графиков, которые учащиеся изображают по данной таблице (рис. 3,4,5,6)

Рис.4

Рис.3

      

 

           

                                                    

	Рис.5		Рис.6

На каждом из этих рисунков допущены грубые математические ошибки и происходят они из-за того, что учащиеся используют из таблицы лишь сведения о том, где функция возрастает и где убывает, и совершенно не берут во внимание существование производной функции в критических точках. В таблице 1 отмечено, что в точках,  производная функции существует, а это означает, что в точках с этими абсциссами можно провести касательную. Тот факт, что производная функции в этих точках равна нулю, означает, что в точках с этими абсциссами касательные к кривой должны быть параллельны оси Ox. Анализ рисунков 3,4,5,6 показывает, что указанное выше требование нарушено, а именно, на рисунке 3 нельзя провести касательную к кривой с абсциссой ; на рисунках 4 и 5 – в точках с абсциссами ; на рисунке 6 – в точках с абсциссами .

Правильный график функции  показан на рисунке 7.

Рис.7

б) При исследовании функции на монотонность учащиеся очень часто не учитывают точек, в которых функция неопределенна. Приведем пример такой ошибки.

Исследовать функцию  на монотонность.

Часто учащиеся поступают так: ; находят точки, в которых производная равна нулю: ; затем, множество всех действительных чисел разбивают точкой  на два промежутка  находят знаки производной на каждом промежутке и делают затем ошибочный вывод о монотонности функции на каждом из этих двух промежутков.

Поступать же надо было так. Множество всех действительных чисел следовало бы разбить на промежутки точками, в которых функция не определена и точками в которых производная равна либо нулю, либо равна бесконечности, либо не существует. В данном случае мы получим три промежутка: . Знак производной функции на каждом из них отмечен на рисунке 8.

Рис.8

 

Ответ должен быть записан в следующем виде:

на промежутке  функция возрастает;

на промежутке  функция убывает;

на промежутке  функция возрастает.

По поводу записи ответа отметим следующее: если функция  непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присоединить к этому промежутку. Так, в нашем случае, в точке  функция непрерывна, а значит промежутки могли бы быть записаны так: .

в) Ряд ошибок связан с решением текстовых задач на экстремум. Проанализируем эти ошибки.

Очень часто учащиеся в процессе решения задач на экстремум при исследовании полученной функции на наибольшее (наименьшее) значение делают такой вывод: «Функция на промежутке имеет один максимум, тогда максимальное значение и будет наибольшим». Такое утверждение содержит ошибки, разберем суть этих ошибок.

На рисунке 9 показан график такой функции, которая на промежутке  имеет одну точку максимума, но максимальное значение не является

 

наибольшим; наибольшее значение функция достигает в точке .

Рис.9

Учащиеся были бы почти правы, если бы они записали вывод в таком виде: «Функция на промежутке имеет один экстремум, который максимум, тогда максимальное значение будет и наибольшим на данном промежутке». Этому утверждению соответствует рисунок 10.

 

 

	Рис.10

Но и последнее утверждение содержит ошибку. На рисунке 9 показан график функции, которая на отрезке  имеет одну точку экстремума, которая является точкой максимума, но максимальное значение не является на этом промежутке наибольшим; наибольшее значение достигается при .

Рис.11

 

 

Обобщая проведенные рассуждения, вывод, сделанный учащимися, должен быть таким: «Непрерывная функция имеет на промежутке одну точку экстремума, которая является точкой максимума, тогда это максимальное значение и будет наибольшим на указанном промежутке».

Приведенных в работе примеров типичных ошибок, допускаемых учащимися при изучении Алгебры и начал анализа, вполне достаточно, чтобы показать учителю насколько важно учить учеников, а им самим учиться, рефлексивно- оценочной деятельности, которая позволит устранить и предупредить подобного рода ошибки [5].

План-конспект урока по теме «Производная и ее применение»

Цель урока: обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме «Производная и ее применение».

Тип урока: обобщения и систематизация знаний

Структура урока:

1. Постановка цели урока.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

3. Самостоятельная работа.

4. Подведение итогов работы на уроке.

Оборудование урока: 1. Рисунки. 2. Кодоскоп. Кодопозитивы.

Выбор методов обучения. Основные методы − эвристические и репродуктивные.

Ход урока:

1. Постановка цели урока.

Учитель сообщает учащимся цель урока.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

На данном этапе урока учащиеся сидят по группам, соответствующим ими выбранной тематике домашнего задания (количество учащихся в группе корректируется учителем по 5-6 человек). Столы стоят таким образом, чтобы учащиеся могли видеть доску. Четыре представителя от каждой группы излагают у доски одну из задач, подобранных из различных пособий, и отвечают на вопросы:

1. Геометрический смысл производной.

2. Физический смысл производной.

3. Роль знака производной для определения возрастания или убывания функции на некотором промежутке.

4. Дать определение (в широком смысле) касательной, проведенной к графику данной функции через точку . Записать уравнение касательной.

Пока они готовятся, все учащиеся слушают историческую справку, делая соответствующие записи в тетрадях.

Заслушав план решения каждой задачи, записанной на доске, учащиеся делают вывод о том, что наиболее емкое применение производная находит при решении различных задач и построении графиков функций.

3. Самостоятельная работа.

Учащимся дается задание: «Исследовать функцию  и построить ее график»

При фронтальной беседе с группами вырисовывается алгоритм решения задачи и чертеж к ней.

4.Урок заканчивается подведением итогов Учащимся дается домашнее задание: найти в дополнительной литературе задачи на применение производной в других науках.

Заключение

В курсовой работе рассмотрена методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной. Нами выполнен анализ содержания стандарта среднего (полного) общего образования по математике, учебника Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.. с точки зрения изучения функций и их исследования с помощью производной

В работе показано применение общей схемы к исследованию функций, разработаны задания для самостоятельной работы, контрольная работа.

Нами проанализированы типичные ошибки учащихся при исследовании функций и построении графиков. В курсовой работе представлен план-конспект урока по теме: «Применение производной к исследованию функций»

Список используемой литературы

1. Алгебра и начала анализа в 9-10 классах: Пособие для учителя / Л. О. Денищева, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев и др. − М.: Просвещение, 1988. – 272с.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. − 7-е изд., доп. − М.: Просвещение, 1998. − 365с.

3. Далингер В. А. Начала математического анализа. − Омск: ООО «Издательство-Полиграфист», 2002.-158с.

4. Далингер В.А. Методика обучения учащихся элементам математического анализа: Учебное пособие. − Омск: Издательство ОмГПУ, 1997. – 149с.: ил. -70, таб. 9.

5.  Дороднов А.М., Острецов И.Н., Петросов В.А. Графики функций. Учеб. пос. для пост. в вузы-М.: Высшая школа,1972.

6. Зубкова Л. Н. Урок-семинар по теме «Производная и ее применение», Журнал «Математика в школе» №6, с.57-59.

7. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. Пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. Спец. / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. − М.: Просвещение, 1987. – 416с.

8. Саакян С. М., Дудницын Ю. П. Примерное планирование учебного материала по математике в 10-11 классах, Журнал «Математика в школе» №7, с.2-5.

9. Тульчинская Е. Е. Поурочное планирование и контрольные работы по алгебре и началам анализа, Журнал «Математика в школе» №10, с.27.

10. Электронный ресурс: http://freemath.ru/load/shkolnaja_matematika