ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ИнЭИ

1 семестр, 2², 2019/20 20 уч. год

 

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

 

1. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц, сложение, умножение матрицы на число. Основные свойства.

2. Умножение матриц и его свойства. Транспонирование матриц и его свойства.

3. Определители. Свойства определителей.

4. Обратная матрица. Единственность. Существование и вычисление обратной матрицы (через построение присоединенной матрицы).

5. Ранг матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Теорема о том, что элементарные преобразования не меняют ранга.

6. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Ранг ступенчатой матрицы.

7. Пространство Rⁿ арифметических векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.

8. Критерий линейной зависимости векторов Rⁿ. Следствие из этой теоремы. Понятие базиса.

9. Теоремы о базисах в Rⁿ. Стандартный базис.

10. Теорема о базисном миноре.

11. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

12. Квадратные системы линейных уравнений. Формулы Крамера.

13. Однородные системы линейных уравнений. Условия нетривиальной совместности. Свойства решений.

14. Фундаментальная система решений однородной системы. Структура общего решения.

15. Неоднородные системы. Структура общего решения. Теорема Кронекера–Капелли.

16. Геометрические векторы. Коллинеарность и компланарность. Равенство векторов. Арифметические действия с векторами. Координаты вектора в декартовой системе координат.

17. Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление через координаты в прямоугольной системе координат. Критерий перпендикулярности.

18. Векторное произведение векторов и его свойства. Вычисление через координаты в прямоугольной системе координат. Критерий коллинеарности.

19. Смешанное произведение векторов. Вычисление через координаты в прямоугольной системе координат. Критерий компланарности.

20. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл коэффициентов. Взаимное расположение пары плоскостей.

21. Каноническое и параметрическое уравнения прямой. Прямая как пересечение плоскостей. Взаимное расположение пары прямых.

22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

23. Линейные пространства. Размерность и базис. Подпространства.

24. Примеры линейных пространств.

25. Евклидовы пространства. Неравенство Коши–Буняковского.

26. Процесс ортогонализации и существование в евклидовом пространстве ортонормированных базисов.

27. Линейный оператор и его матрица. Матричная форма записи линейного оператора.

28. Образ, ядро, ранг и дефект оператора.

29. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к другому базису.

30. Сопряженный и самосопряженный операторы. Матрицы этих операторов в ортонормированном базисе.

31. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов и их свойства.

32. Характеристический многочлен и его инвариантность.

33. Собственные базисы. Существование собственного ортонормированного базиса у самосопряженного оператора.

34. Квадратичная форма и ее матрица. Приведение к каноническому виду ортогональным преобразованием. Закон инерции.

35. Уравнения кривых 2-го порядка в канонических системах координат. Классификация.

36. Уравнения поверхностей 2-го порядка в канонических системах координат (основные типы).

 

Задачи.

1.Используя формулы Крамера, решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3.Дан вектор . Найти матрицу оператора  в базисе .

4. Определить тип кривой 2-го порядка:

.

5. Чему равен фокальный параметр параболы:

                                                     

6.Можно ли столбцы матрицы  принять за базис в R ⁴??

7. Вектор  компланарен плоскости, проходящей через точки А(1,0,2) и В(2,7,3). Составить общее уравнение этой плоскости.

8. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений:

9.Дан оператор , где . Доказать, что оператор  линеен, и найти его матрицу в базисе .

10.Решить систему уравнений:

11. Выяснить, существует ли такая матрица  третьего порядка, для которой верно равенство:

12. Решить неравенство:

                                           

13.В пространстве функций, заданных на  даны четыре функции:

Является ли они линейно независимыми?

14. Указать хотя бы один базис в подпространстве:

Rⁿ.

15. В треугольнике с вершинами O(0,0,0), A(7,3,–5), B(–5,7,3) проведена биссектриса A О B. Написать ее каноническое уравнение.

16. Система линейных уравнений AX = B несовместна, RgA=10. Чему равен Rg(A/B)?

17. В базисе  оператор А задан матрицей

Может ли образ  ненулевого вектора  быть ортогональным самому вектору ?

18. Векторы , ,  отложены от начала системы координат. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через их концы.

19. Найти собственные значения оператора, заданного матрицей

20. Найти все векторы, координаты которых не меняются при переходе от базиса  к базису .

21. Скалярное произведение векторов  и , заданных в стандартном базисе , равно 5. Чему равно их скалярное произведение в базисе

?

22. Оператор задан своей матрицей  Показать, что векторы  и  являются его собственными векторами и найти их собственные значения.

23. Привести квадратичную форму

к каноническому виду ортогональным преобразованием (само преобразование не указывать).

24. Линейная система пяти уравнений с семью неизвестными AX = B такова, что RgA=5. Доказать, что она совместна при любой правой части В.

25.Векторы  и  – собственные векторы оператора А с собственными значениями 2 и 3 соответственно. Будет ли собственным вектор ?

26.Оператор А в базисе  имеет матрицу  Верно ли, что оператор А самосопряжен?