Знать правила параллельного проецирования (сохраняется параллельность, отношения отрезков; ни углы, ни размеры сторон не сохраняются).

Последовательность: сначала – основание, потом – точка проекции высоты на основание; можно заготовить элементы будущих линейных углов; то, что еще дано (это все говорилось о фронтальной проекции основания). После того, как сделали вид основания – делаем графическую модель основания. Пирамиды строим снизу вверх (призмы – сверху вниз).

Роль выносов: углы не искажаются; отмечаем все прямые углы, нужные углы.

Двугранные углы строятся в привязке к элементам конструкции.

б) Методика обучения записи условия стереометрической задачи и ее полного решения (методические рекомендации по отражению в решении всех дополнительных построений, обоснованию и полной аргументации геометрических особенностей чертежа, которые используются в выкладках и вычислениях).

Вида записи (угол между пл-тями, 4 буквы, 2 буквы); если пишем АВСД трапеция – указать основания, или параллельность, или если равнобедренная – указать равные стороны. Условие должно быть записано так, чтобы закрыв чертеж по условию можно было его восстановить.

В полном решении: указывать доп. построения (геометрия) и теоретические выкладки, возможны варианты: сначала ..

в) Методика использования прямоугольного тетраэдра в задачах на правильные пирамиды.

При реш задачи на любую правильную пирамиду всегда можно использовать прямоуг тетр (в доле этой пирамиды). Взять чертеж из самостоятельной. В нем собираются все углы: угол наклона бокового ребра, боковой грани, плоский угол при вершине и всегда известный угол, который получается как центральный… его всегда можно вычислить, разделив 360 на количество углов.

На 9-10 баллов надо продемонстрировать прям. Тетр. С двугранным углом при боковом ребре.

Виды пирамид: правильные и неправильные.

 

Классификация задач:

На построение, на доказательство, на вычисление;

По трудности: трудные, ..легкие;

По дидактической цели: тренировочные, на закрепление, проверочные;

 

Задачи по пирамидам:

1. Правильные П

2. Не правильные

1)

2) боковые грани

3) остальные

Внутри групп можно выделить группы, например, по количеству углов в многоугольнике, являющимся основанием.

Классификацию делают, чтобы устранить диспропорцию.

Особенности в каждом классе???? Может, есть у Маши.

 

Создание сериалов:

Берете какой-либо многоугольник в основании и начинаете: все боковые грани/ ребра одинаково наклонены; одна грань перпендикулярно и что-то еще дано; одно ребро перпендикулярно и что-то еще дано…

 

д) Особенности пирамид, в основании которых лежит: правильный многоугольник; произвольный (неправильный) многоугольник.

Если боковые ребра равны, то пирамида будет правильной, если не равны – не правильной; вокруг нее можно описать сферу, т.к. ее основание вписывается в окружность; а описать??

 

При параллельном переносе отобразится сама на себя:

Прямая (если вектор переноса коллинеарен прямой), прямая с выколотыми точками через равные проме

Пл-ть, если вектор комланарен ей. Полуплоскость, если вектор компланарен краю. Т.е. могут отобр. Только неограниченные.

Симметрия относительно точки: прямоугольный параллелепипед, сфера, шар, прямой цилиндр, правильная призма с четным количеством сторон в основании.

Относительно оси: сфера, шар, цилиндр (бесконечно много осей симметрии и пл-тей симметрии),

Правильная призма имеет n+1 пл-тей симметрии (треугольная точно не имеет осей симметрии), Правильная пирамида имеет n пл-тей симметрии.

В человеческом теле нет осей симметриии ,есть плоскость симметрии.

Поворотная симметрия: шар, сфера; куб…

 

В школьном курсе параллельный перенос используется при доказательстве формул объемов.

Два шара всегда подобны и гомотетичны. Кубики – если они расположены параллельно, и вообще правильные многогранники. 2 Правильные пирамиды подоьбны, если у них равные углы привершине. Гомотетичны – если сходно расположены.

 

В школьном курсе гомотетия может быть использована в теоремах о пирамидах (если пирамиду рассекают плоскостью, параллельной основанию).

 

При решении задачи векторным методом все действия – без системы координат (вектор как направленный отрезок), когда векторно-координатным – вся векторная.. + координатная алгебра.

ВК меттодом удобно решать, если в стереометрической фигуры углы прямые, если нет – векторный метод.

Метод координат – это, по сути, перевод геометрической задачи на язык алгебры.

Вектор – от латинского «несущий». Векторы возникли из нужд физики.

 

Лекция 01.11.2019

Тема: Методика изучения тел вращения.

Изучаются, как и многогранники, в 2 этапа:

1) до формул объема: определения, различные виды симметрий и некоторые свойства (например, некоторые сечения).

Определения.

У всех тел вращения в школьном курсе дается 2 определения: через понятие вращения - конструктивное (построительное) и без понятия вращения

При определении без понятия вращения встречаются и описательные и построительные определения.

(Кстати, только у шара есть различие между шар/окружность).

Например конус: возьмем круг, из его центра восстановим перпендикуляр и рассмотрим все отрезки, один конец которых – центр круга, другой – граница круга – построительное; другой тип – у Рогоновского – через предварительно введенное понятие конической или цилиндрической поверхности: берем плоскость, в ней – направляющая, … - это опр. цилиндрич. Поверхности. Цилиндр – если цилиндрическую поверхность пересечь двумя параллельными плоскостями, то получим (внутри??) цилиндр.

Цилиндр – через цилиндрическую поверхность.

Сфера – множество точек пространства… шар - …. – это описательные построения. А когда говорим, что вращается полуокружность или круг – конструктивное.

 

Свойства.

Конус и цилиндр имеют развертки; боковая развертка конуса – круговой сектор (если даны параметры развертки и l – длина дуги развертки, то l = 2Пr, где r – радиус основания конуса, который получим, свернув развертку).

Виды симметрий: центральная, осевая, относительно плоскости.

У цилиндра есть точка симметрии, оси симметриии (бесконечно много +1), плоскости симметрии (бесконечно много +1); у конуса нет точки симметрии, есть 1 ось симметрии и бесконечно много плоскостей симметрии.

Сечения

Конус: эллипс (если параллельно основанию – окружность меньшего радиуса), гипербола, парабола – все кривые второго порядка (какая именно – зависит от угла: параллельно образующей…)

Если цилиндр порезать под углом 45 градусов, кусочек развертки будет синусоидой. Если под другим углом – растяжение или сжатие синусоиды.

Конус, цилиндр – иноязычные слова (греч. Или латинский), конус – сосновая шишка (цилиндр? Может спросить на экзамене.) Это реализация межпредметных связей (связь с языком).

 

Задачи на комбинации тел вращения.

Они фактически (за редким исключением) сводятся к планиметрическим задачам, связанным с осевым сечением конструкций.

Сфоткать у Дианы.

Сопровождение этого плоского чертежа графической моделью конструкции (пространственной моделью) имеет целью только развитие конструктивных навыков.

Важно: даны ли в учебном пособии соответствующие определения вписанных и описанных фигур.

 

Методика изучения правильных многогранников.

Еще называют платоновы тела.

Существуют 5 видов правильных многогранников (выпуклых многогранников, все грани которых – правильные n-угольники, и при каждой вершине одинаковое количество ребер/или плоских углов).

Кол-во зависит от количества выпуклых многогранных углов, составленных из равных плоских углов, которые можно построить.

Название пр многогранника: количество граней+слово «грань».

Тетраэдр – огонь.

Октаэдр (8 углов, грани – треугольники) – воздух.

Икосаэдр (20 граней ,грани – треугольники) – вода.

Гексаэдр (6-тишранник, грани – квадраты ) – куб – земля.

Додекаэдр (12-тигранник, грани – правильные 5-тиугольники) – квинтэссенция, эфир.

 

Для всех правильных многогранников выполняются: различные виды симметрий (знать количество, хотя бы куб, тетраэдр, октаэдр), принцип двойственности:например, центры граней куба – вершины октаэдра, т.е. октаэдр можно вписать в куб, а центры граней октаэдра – вершины куба, т.е. в октаэдр можно вписать куб и т.д.

Формула Эйлера.

Еще свойство: принцип минимакса:

Формулировки:

При фиксированном объеме среди всех многогранников с одинаковым числом граней (например, среди всех четырехгранников) наименьшую площадь поверхности будет иметь правильные многогранники.

Если зафиксировать площадь поверхности, то среди всех одноименных по количеству граней многогранников (например, шестигранников) наименьший объем будет иметь правильный многогранник.

Среди всех многогранников с фиксированным объемом наименьшую площадь поверхности имеет тот многогранник, который ближе всего к сфере по форме (икосаэдр).

…с фиксированной площадью поверхности максимальный объем у того, кто ближе всего к сфере (икосаэдр)

 

Около любого правильного многогранника можно описать сферу и в них можно вписывать сферу.

Задача о 13 шарах: если взять 13 шаров одинаково диаметра, одинаково пластичных, и оказывать на них равномерное давление, то 13 шар примет форму додекаэдра (это как??)

Карл Левитин «Геометрическая рапсодия» - много про многогранники.

 

Связь с шарами и сферами.

У пр многогранников существует центр (центр вписанной и описанной окружности совпадает), но это не всегда центр симметрии.

Др. греки задавали вопрос: с помощью каких многогранников можно замостить пространство (кубами; тетраэдрами нельзая.)

 

Лекция 05.11.

Тема: та же

Самая тесная связь у шара и сферы с правильными многогранниками. Каждый правильный многогранник имеет центр, т.е. точку, которая является одновременно центром вписанной и описанной около него сферы. Все проблемы, связанные с выводом формул площади сферы и объема шара так или иначе связаны с многогранниками, в том числе правильными. При всех подходах к выводу этих формул присутствуют в неявном виде предельные переходы.

Подходы к обоснованию формул площади сферы и объема шара:

1. Если в школьном курсе введена интегральная формула для объема тела вращения, то по этой формуле сначала получают формулу объема шара (4ПR³/3).

Вывод: рассмотреть четвертинку шара, вывести уравнение для функции f(х)^ х²+у² = R², отсюда у = … (у>=0)

Сфоткать и Дианы.

Тогда площадь сферы равна производной от объема шара.

2. Без интегралов.

Возможны 2 варианта:

1) вывести формулу объема шара рассуждениями через объем пирамиды и объемы вписанного и описанного многогранников (объема шара – как сумма пирамидок…) опасность: так или иначе рассуждения об объеме приводят к необходимости уже знать площадь сферы. Т.е. либо выводить площадь поверхности шара и возвращаться к объему, или принять формулу площади сферы без доказательства и вернуться к объему.

2) сначала обосновать формулу площади сферы (у Шлыкова). Вывести формулу поверхности сферы и потом доказать ф-лу объема либо принять ее без док-ва.

 

Шлыков:

Вписать в шар правильную ломаную….

Лемма: площадь боковой поверхности для каждого из тел (цилиндра, конуса, усеченного конуса) равна произведению высоты на длину окружности, равную длине серединного перпендикуляра к боковой стороне. В учебном пособии доказано для конуса, для цилиндра доказывается само.

Измерительный эксперимент: обклеить веревочкой полусферу

 

Методика обучения решению задач на комбинацию многогранников и тел вращения.

Важно сделать хороший чертеж.

У Шлыкова обучение решению таких задач – в неявном виде, через демонстрацию большого количества графических моделей для комбинации фигур. При этом используются разные ракурсы размещения этих фигур, разные способы тонирования, выносы во фронтальную плоскость элементов конструкции. У него есть раздел «Практикум по решению задач», он посвящен демонстрации задач с решениями. (т.е. методика: демонстрируются образцы и демонстрируется обширный видеоряд – у него их гораздо больше, чем у Погорелова или Атанасяна).

Во многих учебных пособиях можно увидеть одну (максимум две) решенных задачи с единственным чертежом. Очень часто отсутствуют определения вписанных и описанных многогранников (у Шлыкова они есть).

Можно рассмотреть, как один из вариантов обучения, метод анализа «типовых конструкций».

Суть: учитель после анализа системы задач выделяет несколько наиболее распространенных комбинаций. Например: правильная четырехугольная пирамида, вписанная в сферу. Каждую из выделенных комбинаций графически моделирует, выделяя при этом приемы построения, полезные дополнительные построения, связи между элементами конструкции, полезные выносы во фронтальную плоскость. Учащиеся выполняют эти чертежи по одной комбинации на отдельном листе бумаги. Затем идет подбор задач на эту конструкцию из различных источников. Так мы помогаем ученикам закрепить особенности одной и той же конструкции.

Выделенные Еленой Павловной конструкции:

1) в цилиндр вписана (прямая) треугольная призма, в основании которой –треугольник со сторонами 2, 4, 5.

2) в сферу вписана правильная треугольная пирамида.

3) в сферу вписана правильная четырехугольная пирамида.

4) в правильную треугольную пирамиду вписан шар.

5) в правильную четырехугольную пирамиду вписан шар.

6) в сферу вписана пирамида, в основании которой – прямоугольник со сторонами 3 и 4, длина высоты 7 см, ее высота проецируется в одну из вершин основания.

 

Тела вращения.

Что такое конус и коническая поверхность? (у Шлыкова - частный случай, а не общий). Цилиндр и цилиндрическая поверхность.

Формулы боковой поверхности

 

Лекция 03.12.

Тема: Ни о чем.

Оформление решения.

Запись условия задачи после выполнения чертежа предполагает использование символики и полноту передачи условия. Полнота проверяется по возможности восстановления задачи по этой записи без чертежа. «Угол наклона бокового ребра к плоскости основания»: <(SA;(ABC) = 60/

Типичные ошибки при оформлении:

1) неполнота записи условия;

2) неправильная запись углов (углов наклона, боковой грани – сразу называют его буквами, хотя надо еще доказать, что он такой);

3) употребление параметров, не оговоренное в условии.