Методика реализации стохастической линии в 7 классе.

Основные задачи:

· Введение понятия перестановки и вывод формулы числа перестановок.

· Познакомить учащихся с основными статистическими характеристиками: среднее арифметическое, мода, размах.

· Умение находить основные статистические характеристики для конкретного ряда данных, а также из таблиц и диаграмм. 

· Выработка умений находить основные статистические характеристики в несложных случаях, учащиеся должны понимать их практический смысл в конкретных ситуациях.

Ввести первые статистические характеристики можно, используя ряд чисел, составленный из оценок полученных за четверть. Для школьников очень актуален вопрос о том, какая оценка выйдет у них за четверть. Каждому учащемуся заранее можно выписать его оценки за четверть. Учитель выписывает на доске некоторый ряд оценок, и на его примере вводит понятия среднего арифметического и моды ряда чисел. Дети для закрепления этих понятий, находят эти статистические характеристики каждый для своего ряда.

Также нужно обратить внимание, что моду может иметь не только числовой ряд. Приведем пример: допустим, в вашем классе провели опрос – каждому учащемуся задали вопрос: «какой ваш любимый предмет?» или «кто ваш любимый учитель?». Полученные ответы будут составлять ряд, модой которого будет наиболее часто встречающийся ответ на данный вопрос. Мода – это показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопроса, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать новые автобусные маршруты и т.п. предварительно изучается спрос и выявляется мода – наиболее часто встречающийся заказ.

Однако нахождение среднего арифметического или моды ряда далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных.

Например, на планете Меркурий средняя температура +15˚. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от -150˚ до +350˚.

Значит, если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе помимо средних значений надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой. Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах. Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Для температуры на Меркурии, например, размах равен          350˚-(-150˚)= 500˚. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.

Помимо размаха, во многих случаях важны сами наибольшие или наименьшие значения данных. Например, если посылается спутник для исследования того же Меркурия, необходимо, чтобы приборы работали и при максимальных, и при минимальных возможных там температурах.    

Сначала нужно рассмотреть задачи, где дан конкретный ряд данных и нужно определить его среднее арифметическое, моду и размах. А затем перейти к задачам, где необходимо понимать смысл этих характеристик.      

Рассмотрим задачу, которая позволяет увидеть практическую значимость данных статистических характеристик. 

Некий городской житель решил переехать в деревню. Сведения об урожайности картофеля (ц/га) в двух селах за последние годы таковы:

Село А: 180,50,60,100, 170,60, 150, 90, 120,70, 60,160, 90, 170,90,180, 160.

Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110.

Какому из этих мест он отдаст предпочтение?

Что же может послужить критерием принятия решения. Если посчитать среднее значение. То получим, что в селе А средняя урожайность немного выше, чем в селе Б. Но здесь нужно обратить внимание и на другой статистический показатель – размах ряда, т.к. мы можем заметить, что в селе А урожайность, по сравнению со средним значением, колеблется. В селе А разброс значений урожайности больше чем в селе Б. В селе А размах равен 130, а в селе Б размах равен 30. Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что, видимо, лучше выбрать несколько меньшее значение средней урожайности, но при большей ее стабильности. Устойчивость урожая особенно важна для человека, еще не имеющего опыта приусадебного хозяйства.

В отделе мужской обуви универмага в течение дня производился учет размеров купленной обуви. Были получены следующие результаты: 44, 40, 43, 39, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 44, 44, 41, 42. Представьте эти результаты в виде таблицы:

Какой размер обуви наиболее распространен?

Исходя из вопроса, делаем вывод, что в данной задаче нам требуется найти моду ряда размеров, то есть узнать, какой размер пользуется большим спросом. Таблица позволяет быстро это сделать.

Бензоколонка работает круглосуточно без выходных. За январь выручка составила 71 796 000 р. Какова была в январе средняя выручка за сутки?

В данной задаче необходимо понимать, что требуется найти. Раз требуется найти среднюю выручку, то делаем вывод, что необходимо найти среднее арифметическое. Но до этого учащиеся имели дело непосредственно с рядом данных. В данной ситуации мы имеем, что сумма выручки за 31 день составила 71 796 000 рублей. Тогда мы можем посчитать среднее арифметическое (71 796 000 : 31) = 2 316 000, это и будет средняя выручка за сутки.

Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Так как среднее арифметическое ряда чисел равно 15, а число его членов равно 10, то сумма членов равна 15∙10, т.е. 150. После приписывания числа 37 сумма стала ровно 150+37, т.е. 187, а число членов ряда оказалось равным 11. значит, среднее арифметическое нового ряда равно 187 : 11, т.е. равно 17.

Учащиеся должны уметь вычислять статистические характеристики по данным, представленным в таблице.

При изучении качества продукции выпущенной цехом, определяли число бракованных деталей в каждом из 50 произвольным образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей. Результаты проверки записали в виде таблицы:

 Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда данных.

Сначала выпишем упорядоченный ряд данных о количестве бракованных деталей в ящиках. Из таблицы мы вычисляем, что наш ряд содержит 8 нулей, 22 единицы и т.д.

0 … 0 1… 1 2…2 3 … 3 4 4.   

8     22 13   5

Таким образом, чтобы вычислить среднее арифметическое, необходимо, вычислить сумму всех его членов, а количество всех членов ряда известно из условия задачи (50 ящиков). Сумма всех членов будет равна 0*8+1*22+2*13+3*5+4*2=71, а количество всех членов будет 50, тогда среднее арифметическое будет 71:50 = 1,42, т.е. чаще встречаются ящики, в которых может быть одна бракованная деталь. Об этом же говорит нам и мода, которая равна 1. 

Чтобы вычислить размах, необходимо знать наибольшее и наименьшее значение, т.е. какое наибольшее и наименьшее число бракованных деталей может попасться в ящике, из таблицы мы видим, что это 0 и 4. тогда размах равен 4.

Мода тоже очень легко вычисляется по таблице, так как сразу видно, что наибольшее число ящиков с одной бракованной деталью.

Не менее важным является и умение вычислять статистические характеристики по данным представленными в диаграмме.

На диаграмме представлены данные о числе болельщиков, посетивших футбольные матчи на стадионе «Динамо» за последний месяц. Найдите размах посещаемости и среднюю посещаемость матча, округлив ее до сотен.

По диаграмме мы можем сразу вычислить наибольшее и наименьшее значения и найти размах. Средняя посещаемость для данного случая это среднее арифметическое ряда этих данных.

К 7 классу учащиеся уже должны иметь навыки систематического перебора и быть знакомы с основными методами подсчета возможных вариантов. В 7 классе продолжаем решать задачи на подсчет возможных вариантов различными способами, а также вводим понятие перестановки.

Раньше учащиеся уже сталкивались с перестановками, когда подсчитывали сколькими способами можно упорядочить несколько (2,3 или 4) элементов, но само понятие перестановки еще не вводилось.

На данный момент мы уже знаем, количество перестановок для 2, 3 и 4-ех элементных множеств. 

В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

Решим эту задачу, используя правило умножения. Первое место может занять любой из четырех участников. При этом второе место может занять любой из трех оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвертом месте остается последний участник. Значит, места между участниками могут быть распределены 4*3*2*1 = 24 способами.

Мы искали, сколько различных упорядоченных наборов мы можем составить, имея некоторое число элементов, каждый из таких упорядоченных наборов, есть перестановка. В рассмотренном примере мы фактически нашли число перестановок для четырех элементов.

А что если множество состоит не из четырех, а например, из десяти элементов? Тогда всего будет 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3 628 880 перестановок. Т.е. произведение первых 10 натуральных чисел. Но для еще большего количества элементов уже будет сложно подсчитать число перестановок. В математике есть специальное обозначение для краткой записи произведения нескольких первых натуральных чисел. Произведение, например, первых десяти натуральных чисел обозначают 10! – и читается как «десять факториал». 0!=1 по определению.

Рассуждения, использованные в примере, показывают, что число перестановок для множества из 4 элементов равно 4!, точно также для множества, например, из 10 элементов число перестановок равно 10!, и вообще: число перестановок для множеств из п элементов равно п!.

Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов.

У нас есть 7 городов и нужно составить маршрут по этим городам, то есть фактически, нам нужно рассмотреть все перестановки этих семи городов. Мы уже знаем формулу, поэтому получаем 7!.

Нужно дать несколько упражнений на вычисление выражений с факториалами, чтоб учащиеся лучше овладели навыками работы с ними. Верно ли, что:

а) 10!=10*9!    б) 10!=2!*5!      в) 12!/11!=12?

2) найдите значения выражения 16! : 14! * 3!

В некоторых задачах на подсчет числа перестановок накладываются дополнительные условия, и для решения задачи кроме подсчета числа перестановок необходимо произвести другие действия.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Число всех возможных перестановок цифр 0, 2, 4, 6 будет 4!, но нужно обратить внимание учащихся на 0 и из этого числа перестановок нужно исключить те числа, которые начинаются с 0. Это всевозможные перестановки цифр 2, 4, 6, их количество равно 3!. Таким образом, число искомых чисел будет равно 4!-3!.

Имеется 9 различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Сначала рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать 6! способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить 4! перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению 6!*4!

 В теории вероятностей вновь обращаемся к экспериментам. Можно использовать результаты экспериментов проведенных ранее, и провести новые опыты. Результаты проведенных экспериментов будут нагляднее, если по данным таблицы зависимость частоты появления результата «острие вниз» от количества экспериментов представить графически. Ось абсцисс – число экспериментов, ось ординат – частота появления результата «острие вниз».

Зная относительную вероятность события (частотную) можно прогнозировать частоту его появления в будущем.

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появления близнецов?

Мы знаем частоту события «родится близнец» и знаем количество всех исходов, тогда пользуясь формулой, можем вычислить количество таких исходов из 10 000. 10 000*0,012=120. То есть мы можем предположить, что из 10 000 рождений, в 120 случаях родятся близнецы. Хотя это вовсе не обязательно так.

За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?

Мы знаем, сколько раз происходили события «солнечный день» и «пасмурный день», чтобы вычислить их частоту необходимо знать количество всех летних дней. Но мы без проблем можем это сделать, так как точно знаем, сколько дней в июне, июле и августе вместе взятых, 92 дня.

В школьной лотерее распространили 400 билетов, из которых выигрышными являются 50.

а) Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета?

б) Сколько следует приобрести билетов, чтобы вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, была бы равна 100%?