Методика реализации стохастической линии в 6 классе.

Основные задачи:        

· Отработка умений и навыков в составлении и подсчете числа комбинаторных наборов.

· Показать учащимся как можно решать комбинаторные задачи с помощью рассуждений. Познакомить учащихся с правилом умножения при подсчете числа возможных вариантов, сформировать умения по его применению.

· Познакомить с правилом суммы

· Формирование умений строить дерево возможных вариантов.

·  Формирование умений сравнения вероятностей разных событий (более вероятно, менее вероятно)

· Познакомить с понятиями статистической частоты и вероятности, с методом оценки вероятности через статистические испытания.

В 6 классе в теме комбинаторика продолжаем рассматривать комбинаторные задачи, на первый план выходят задачи по подсчету числа возможных вариантов.

Существует несколько подходов к преподаванию комбинаторики: теоретико-множественный, лексико-графический и теоретико-вероятностный. В школе преимущество отдается теоретико-множественному подходу, но будет полезным частично обратиться и к лексико-графическому подходу. При таком подходе все определения опираются на представление об алфавите, словах, длине слов и др. 

Решая задачи, иногда очень удобно использовать кодирование, то есть обращение к лексико-графическому подходу.

 Рассмотрим следующую задачу: несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг.

Мы можем записывать наше решение следующим образом : «1 вариант: первая полоса – красная, вторая – синяя, третья – белая.» и т.д. Но это очень долго и не удобно, записывая так, сложно сориентироваться все ли варианты мы записали, и не повторились ли мы где-нибудь. Поэтому очень удобно ввести кодирование, т.е. некоторое условное обозначение перебираемых в задаче объектов. В нашем случае мы заменим первой буквой каждый цвет полосы. Белый соответственно – «Б», красный – «К» и синий – «С».  

Введя кодирование, запись решения задачи очень упрощается. Мы имеем множество из трех элементов {Б, К, С}. Нужно составить различные комбинации из трех элементов, при этом порядок элементов учитывается. Например, запись «БКС» будет обозначать, что первая полоса флага – белая, вторая – красная, третья – синяя. Подобные задачи мы уже решали методом непосредственного перебора и построением дерева возможных вариантов. 

При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было  сделано рукопожатий?

Данную задачу можно решать методом непосредственного перебора, и уже в самом начале заметим, что довольно сложно перебирать все возможные варианты и не запутаться, не говоря уже о записи решения этой задачи. Но, введя определенные обозначения - кодирование, решение будет очень легко представить 

Каждому приятелю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия закодируем следующим образом: например число 24 означает что 2-ой приятель пожал руку 4-му. При чем число 35 и 53 означают одно и тоже рукопожатие, и брать будем меньшее из них. Коды рукопожатий мы можем оформить следующей таблицей:

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

23, 24, 25, 26, 27, 28,

34, 35, 36, 37, 38,

45, 46, 47, 48,

56, 57, 58,

67, 68,

78.

Таким образом, у нас получилось 1+2+3+4+5+6+7=28 рукопожатий.

После того как учащиеся научились составлять всевозможные наборы, на первый план выдвигается задача подсчета числа возможных вариантов.

Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком. Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы? Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

Построим для этой задачи дерево возможных вариантов:

Пусть у нас «П»-обозначает путь пешком

«Р» - сплавиться по реке

«В» - доехать на велосипедах.

 

                     

Ответ на второй вопрос также хорошо просматривается по дереву возможных вариантов.

Но эту задачу можно решить по-другому, с помощью рассуждений. Из Антоново в Борисово у нас 2 варианта каким образом продолжать путь, из Борисово во Власово тоже 2 варианта, т.е. на каждый вариант первого участка пути у нас есть по 2 варианта второго участка пути и того на данном этапе у нас будет 2*2=4 варианта выбора способа передвижения. На каждый из этих 4 вариантов существует по 3 варианта способа передвижения по третьему участку пути из Власово в Грибово, т.е. 4*3=12. Ответ в этой задаче мы получили умножением.

Такой способ подсчета называется правилом умножения, он возможен, если дерево возможных вариантов является «правильным»: из каждого узла выходит одно и тоже число веток.

От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались?

Занумеруем тропы числами от 1 до 4 и построим дерево возможных вариантов:

Чтоб подняться у нас есть 4 тропы (4 варианта) и на каждый из них есть по 3 оставшихся тропы (3 варианта), чтоб спуститься, т.е. 4*3=12 маршрутов подхода к озеру. А теперь представим, что к озеру ведут не 4, а 10 троп. Сколько в этом случае существует маршрутов, если по-прежнему решено спускаться не по той тропе, по которой поднимались. Изобразить дерево возможных вариантов в такой ситуации очень сложно. Гораздо легче решить эту задачу с помощью рассуждений. Подняться к озеру можно по любой из 10 троп, а спускаться по любой из оставшихся 9 троп. Таким образом, всего получим 10*9=90 различных маршрутов похода.

Обе эти задачи мы решили, используя правило умножения, которое звучит следующим образом: пусть необходимо выполнить к независимых действий, если первое действие мы можем выполнить п1 способами, после чего второе действие можем выполнить п2 способами и т.д. до k -го действия, которое можно выполнить п k способами, тогда выполнить все k действия в указанном порядке можно п1∙ п2∙…∙ п k способами. Обратить внимание, что, применяя правило умножения, мы учитываем порядок действий. То есть правило умножения применяется для подсчета упорядоченных наборов.

Рассмотрим две задачи:

1) Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математических соревнований и его заместителя?

На роль капитана может быть выбран любой из 30 учащихся, а его заместитель – любой из 29 оставшихся учеников. Таким образом, получаем 30∙29 = 870 способов.

2) Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде?

Нам не важно, кто капитан, а кто заместитель, нам нужны всего лишь два участника, поэтому получаем, что у нас каждая пара учащихся в произведении повторяется два раза. Поэтому ответом для второй задачи будет (30∙29):2.

Еще одним способом подсчета комбинаторных наборов является использование правила суммы.

Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков?

Выбрать одну девочку из 22 мы можем 22-мя способами, а одного мальчика из 18 можно 18-тью способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно (18+22) способами.

Для подсчета вариантов мы использовали здесь правило суммы, которое можно сформулировать так: если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить п способами, а другое – m способами, то какое-либо одно из них можно выполнить n + m способами. В нашем примере действия исключают друг друга, так как мы должны выбрать либо мальчика из одного множества, либо девочку из другого.

В 6 классе продолжаем вероятностную линию. Начинаем с повторения, что такое случайное событие, определение его достоверности (невозможное, достоверное, маловероятное). Новой задачей становится формирование умения оценивать вероятности двух и более событий (более или менее вероятно).

Полезно рассматривать задачи, в которых при ответе на вопросы необходимо опираться на свою интуицию. Можно рассматривать реальные жизненные ситуации, чтоб учащиеся видели непосредственную связь изучаемого с действительностью.  

Вы купили в магазине телевизор, на который фирма-производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:

А) телевизор не сломается в течении года.

Б) телевизор не сломается в течении двух лет.

В) в течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора.

Г) телевизор сломается на третий год.

Здесь нужно обратить внимание учащихся, что первые два события случайные, так как, во-первых, гарантия фирмы производителя вовсе не обозначает, что в течение двух лет телевизор будет работать идеально, а во-вторых, можно рассмотреть и тот случай, когда телевизор может сломаться по вине покупателя. Событие Г также является случайным, так как нельзя говорить, что телевизор обязательно сломается после того, как закончится срок гарантии.

Хотя оба первых события являются случайными, мы можем говорить о том, что одно из них более вероятно, а другое менее вероятно. Учащиеся должны осознавать большую или меньшую вероятность того или события.

Сравните между собой на основе жизненного опыта общения по телефону шансы следующих случайных событий и определите, какие их них наиболее вероятны.

А) вам никто не позвонит с 5 до 6 утра.

Б) вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра.

В) вам кто-нибудь позвонит с 6 до 9 вечера.

Г) вам никто не позвонит с 6 до 9 вечера.

Здесь нужно учесть индивидуальные особенности, в результате которых для разных людей возможны различные ответы на поставленные вопросы. 

Так, поскольку ранним утром звонки вообще бывают очень редко, у события Б шансов крайне мало, оно маловероятное, почти невозможное. Но вот у события А очень много шансов, это практически достоверное событие.

Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие В для большинства людей вероятней, чем событие Г. Хотя, если человеку вообще звонят редко, событие Г может оказаться вероятнее события В.   

Полезно рассмотреть задачи следующего плана:

1) Вини Пух, Пятачок и все-все-все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве «всех-всех-всех» событие «Вини и Пятачок будут сидеть рядом» является достоверным, а при каком случайным?

2) В школе учится N учеников. При каких N событие:«В школе есть ученики с совпадающими днями рождения» является случайным, а при каких – достоверным?

Здесь учащиеся сами должны придумать условие, при которых эти события являются случайными, а при которых достоверными. 

В 6 классе учащимся предлагается качественно новая деятельность для урока математики – проведение экспериментов. Это могут быть эксперименты с подбрасыванием кубика, монеты или кнопки. Все результаты экспериментов необходимо оформлять в виде таблиц, которые заполняются по ходу эксперимента.

Для проведения экспериментов учащихся лучше разбить группы по 2-3 человека, один из которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его. 

Могут быть предложены следующие задания-эксперименты.

Задание №1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки».

Задание №2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх.

Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв.

Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста (можно несколько различных текстов). Подсчитайте сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю.

Результатом должны быть таблицы примерно такого плана:

Таблица №1. «Эксперимент по подбрасыванию монеты».

Событие	Количество выпадений	итого
Выпал «орел»	/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /	58
Выпала «решка»	/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /	42

 

После проведения эксперимента, введем понятие частота и вероятность случайного события. В качестве примера рассмотрим таблицу №1. Для проведенного эксперимента подсчитаем, какую часть составляет выпадение «орла» от общего числа бросаний монеты, или, как говорят, подсчитаем частоту. Тоже самое подсчитаем для «решки». Для нашего случая это будет 0,58 для «орла» и 0,42 для «решки». Можно составить общую таблицу, в которой будут отражены общие результаты проведенного эксперимента. После этого можно обратиться к результатам проведенных ранее экспериментов. Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в 18 столетии 4040 раз подбрасывал монету – герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале 20 столетия подбрасывал ее 24 000 раз – герб выпал 12 012 раз. Американские экспериментаторы повторили опыт. При 10 000 подбрасываний герб выпал 4979 раз. Таким образом, опираясь на собственные результаты и полученные ранее можно заметить, что при подбрасывании монеты частота появления «орла» примерно равна 0,5. Следовательно, хотя каждый результат подбрасывания монеты – случайное событие, при многократном повторении эксперимента видна отчетливая закономерность: при увеличении количества экспериментов значение частоты сосредотачивается около некоторого числа р. Это число р и будет вероятностью данного события.

Для нашего примера число 0,5 – это вероятность случайного события «выпадения «орла». Так как в этих экспериментах «решка» появляется также примерно в половине случаев, то и вероятность выпадения «решки» равна 0,5.

Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р. Если обозначить событие «выпадет «орел» буквой А, а событие «выпадет «решка» буквой В, наш результат можно записать так:  

Р(А) = 0,5,  Р(В) = 0,5.

Иногда вероятность выражают в процентах, тогда: Р(А)=50%, Р(В)=50%. 

Тот факт, что вероятность появления «орла» равна 0,5, конечно, не означает, что в любой серии экспериментов «орел» появится ровно в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно велико, мы можем дать прогноз, что «орел» выпадет примерно в половине случаев.                                                                                                                                                                                                 

Таким образом, в каждом из экспериментов подсчитаем частоту рассматриваемых событий с помощью формулы:

Частота = (число появлений события)/(число экспериментов).

Затем, используя найденную частоту, оценим вероятность рассматриваемых событий.

Кроме экспериментов, рассматриваются задачи с уже известными данными о появлении некоторого события, и требуется вычислить вероятность этого события.

Известно, что на 100 батареек попадаются 3 бракованные. Какова вероятность купить бракованную батарейку.  

В этой задаче необходимо вычислить вероятность события А: «купить бракованную батарейку», зная, что из ста случаев, это событие произошло 3 раза. Таким образом, получаем, что Р(А) = 0,03.

Составляя таблицы с результатами, проведенных экспериментов, учащиеся приобретают навыки работы со статистическими данными (представление статистических данных и некоторые выводы из них).

Кроме этого в 6 классе рассматриваются задачи непосредственно направленные на работу с таблицами (чтение и составление).

Некоторые таблицы бывают очень простые (с ними мы работали в 5 классе), но бывают таблицы и по сложнее. Например, турнирные таблицы, в которых записывается ход соревнования и его результаты.

Рассмотрим турнирную таблицу, в которой представлены итоги шахматного турнира с четырьмя участниками:

№	Фамилия	1	2	3	4	Очки	Место
1	Виноградов О.		0	0	1
2	Галкин М.	1		Ѕ	1
3	Поликарпов С.	1	Ѕ		0
4	Антипов Е.	0	0	1

За победу участник получает 1 очко, за проигрыш – 0, а за ничью -1/2.

По данной таблице могут быть заданы следующие вопросы:

1) сколько партий сыграл каждый участник

2) как сыграл Поликарпов с каждым из участников

3) заполнить последний столбец, сосчитав, сколько очков набрал каждый участник.

4) определить, используя данные в столбце «Очки», как распределились места между участниками.