Факторизуемые подгруппы произведений конечных групп

 

В настоящем разделе излагается подробно теория факторизуемых подгрупп теории конечных групп, взятая из [32] c точными ссылками на работы авторов приведенных результатов.

1.2.1 Л е м м а. Пусть  – некоторая группа,  и  – ее подгруппы. Подгруппы  и  перестановочны тогда и только тогда, когда произведение  является подгруппой группы .

(Говорят, что непустые множества  и  элементов группы перестановочны, если .)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть подгруппы  и  перестановочны. Тогда, очевидно

 

 

 (Если  – непустое множество элементов некоторой группы, то, как обычно, .)

С учетом последних соотношений множество  является подгруппой группы .

Достаточность. Пусть подмножество  является подгруппой. Тогда, очевидно,  т.е. подгруппы  и  перестановочны.

Лемма доказана.

1.2.2 О п р е д е л е н и е. Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и . Если , то будем говорить, что подгруппа  факторизуема относительно разложения

1.2.3 Л е м м а (Виландт[4]). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и ;  – некоторая подгруппа группы  и  – нормализатор подгруппы  в . Подгруппа  факторизуема относительно разложения  если выполняется следующее условие:

(*) всякий раз, когда для элементов  и

элементы  и  содержатся в .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие (*),  и  – произвольные элементы соответственно из  и , для которых . Тогда выполняется соотношение (1) и, следовательно,  и  Поэтому ввиду произвольности элементов  и  и, значит, . Лемма доказана.

1.2.4 Л е м м а. Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и ;  – подгруппа, порожденная некоторыми инвариантными подгруппами соответственно групп  и  и  – нормализатор подгруппы  в . Подгруппа  факторизуема относительно разложения  тогда и только тогда, когда выполняется условие (*) из формулировки леммы 1.2.3.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если условие (*) выполняется, то по лемме 1.2.3 подгруппа  факторизуема относительно разложения  Пусть подгруппа  факторизуема относительно разложения  и  – какие-нибудь элементы соответственно из подгрупп  и , такие, что выполняется соотношение (1). Поскольку  то для некоторых элементов  и  Отсюда получаем

 

 

Очевидно,  Поэтому с учетом соотношений (2)  и  Лемма доказана.

1.2.5 Л е м м а. Пусть  – группа,  – ее подгруппа и  – элемент группы  некоторая натуральная степень которого содержится в . Тогда подгруппа  не является истинной подгруппой группы .

(Подгруппа, отличная от самой группы, называется ее истинной подгруппой.)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если бы  была истинной подгруппой группы , то она, как легко убедиться, была бы и истинной подгруппой группы  при любом натуральном , в том числе при , для которого , что невозможно. Лемма доказана.

1.2.6 Л е м м а. Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  Пусть, далее  – некоторые инвариантные подгруппы соответственно групп  – подгруппа, порожденная подгруппами  и  – нормализатор подгруппы  в  Подгруппа  факторизуема относительно разложения  если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) ни для какого элемента  подгруппа  не является истинной подгруппой группы

2) ни для какого элемента  подгруппа  не является истинной подгруппой группы

3) подгруппа  не изоморфна ни одной из своих истинных подгрупп (в частности, конечна;)

4) по крайней мере одна из фактор-групп  и  периодическая.

1.2.7 Л е м м а (Дедекинд). Пусть  – подгруппа группы  и  – подгруппа из . Тогда для любой подгруппы  группы  выполняется соотношение

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  и  – произвольные элементы соответственно подгрупп  и . Тогда  и  и, значит, . Следовательно,  С другой стороны, если  для некоторых элементов  и  то  и, значит,  Следовательно,  Итак, соотношение (3) выполняется. Лемма доказана.

1.2.8 Л е м м а (С.Н. Черников [17]). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и , и  – подгруппа группы , содержащая . Тогда

1.2.9 Л е м м а (Сесекин [18]). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и ;  – некоторая инвариантная подгруппа группы  и  Тогда выполняются соотношения

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая, что  и  и используя лемму 1.2.7, получаем

 

 

Покажем, что  Так как  и , то  Пусть  – произвольный элемент из  и  где  и  Тогда  значит,  Поэтому ввиду произвольности  Следовательно, с учетом соотношений (5)  и, значит,  Таким образом, все соотношения (4) выполняются. Лемма доказана.

1.2.10 Л е м м а. Пусть  – группа, разложимая в произведения

 

некоторых подгрупп  и  и конечной подгруппы . Тогда индексы подгруппы  в группах ,  и  конечны и выполняются соотношения

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом соотношений (6), очевидно,

 

 

Поэтому

 

 

Лемма доказана.

1.2.11 Л е м м а. Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  пересечение которых периодическое, и  – локально конечная подгруппа группы  порожденная некоторым множеством конечных инвариантных подгрупп группы  и  Тогда

1.2.12 Л е м м а. Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и ;  – конечная подгруппа группы , порожденная некоторыми инвариантными подгруппами групп  и и  – нормализатор подгруппы  в . Тогда найдутся, перестановочные подгруппы  и  каждая из которых может быть порождена не более чем  элементами, такие, что

 

 

Примечание. В случаях, когда подгруппа  инвариантна в  и когда она порождена некоторой инвариантной подгруппой группы  и некоторой инвариантной подгруппой группы , существование перестановочных подгрупп  и  каждая из которых порождена не более чем  элементами, таких, что  установил Кегель [19] (см. в [19] лемму 1.3 и ее доказательство.)

1.2.13 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  и  – некоторые подгруппы конечных индексов соответственно групп  и  – подгруппа, порожденная  и  Тогда индекс подгруппы  в  конечен.

1.2.14 Л е м м а (Амберг [21]). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  с конечными фактор-группами  и  Тогда фактор-группа  конечна и

 

1.2.15 С л е д с т в и е. Пусть  – группа, факторизуемая  попарно перестановочными подгруппами ,  с конечными фактор-группами  Тогда фактор-группа  конечна и .

1.2.16 Л е м м а. Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  и  – некоторые непустые инвариантные множества элементов соответственно групп  и  Тогда для любых элементов  и  группы  найдется такой ее элемент  что  и

1.2.17 Л е м м а (Виландт [16]). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  Тогда для любых элементов  и  группы  во-первых, найдется такой ее элемент  что  и  и, во-вторых, выполняется соотношение

1.2.18 Л е м м а (Виландт [16]). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  – некоторая подгруппа группы  Следующие условия равносильны:

1) подгруппа  факторизуема относительно разложения  и содержит пересечение

2) каковы бы ни были элементы  и  произведение  содержится в  в том и только том случае, когда элементы  и  содержатся в

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие 1). Покажем, что выполняется условие 2).

Пусть  и  – элементы, для которых  Так как подгруппа  факторизуема относительно разложения  то  для некоторых элементов  и  Отсюда получаем

 

 

и

 

 

Итак, при условии 1) выполняется условие 2). Обратное очевидно. Лемма доказана.

1.2.19 С л е д с т в и е. Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  – подгруппа группы  содержащая пересечение  и факторизуемая относительно разложения  и  – некоторые подгруппы соответственно групп  и  содержащие пересечение  При этих условиях подгруппа  факторизуема подгруппами  и  тогда и только тогда, когда  и

1.2.20 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть  – группа, факторизуема двумя подгруппами  и . Тогда пересечение произвольной совокупности подгрупп группы , факторизуемых относительно разложения  и содержащих пересечение , является подгруппой, факторизуемой относительно этого разложения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  – факторизуемые относительно разложения  подгруппы группы , каждая из которых содержит пересечение  Если для некоторых элементов  и  произведение  содержится в  то оно содержится и в каждой подгруппе  Поэтому ввиду леммы 1.2.11 элементы  и  содержатся в каждой подгруппе  и, значит, в  Следовательно, снова ввиду леммы 1.2.11 подгруппа  факторизуема относительно разложения  Лемма доказана.

1.2.21 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  – ее подгруппа, факторизуемая относительно разложения  и содержащая пересечение  Тогда

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  – произвольный элемент множества  Тогда  для некоторых элементов  и  Отсюда  Так как произведение  принадлежит  и  содержит пересечение  то ввиду леммы 1.2.11  Поэтому элемент  принадлежит  Таким образом,  следовательно, соотношение (4) выполняется. Лемма доказана.

1.2.22 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  – некоторая подгруппа группы  перестановочная с подгруппами  и  – пересечение всех подгрупп группы  факторизуемых относительно разложения  и содержащих подгруппы  и  и  Тогда выполняются соотношения

 

 

1.2.23 Л е м м а. Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и  – некоторая подгруппа группы  – пересечение всех подгрупп группы  факторизуемых относительно разложения  и содержащих подгруппы  и  Пусть для некоторой подгруппы  факторизуемой относительно разложения  и содержащей подгруппы  и  подгруппа  перестановочна с подгруппами  и  Тогда выполняются соотношения

 

 

1.2.24 Л е м м а (Чунихин [22]). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и ;  – инвариантная подгруппа группы , содержащаяся в пересечении  Тогда нормальное замыкание подгруппы  в  совпадает с ее нормальным замыканием в

1.2.25 Л е м м а (Виландт [23], Хупперт [24], гл. IV, предложение 4.6). Пусть  – группа, факторизуемая двумя подгруппами  и ;  – непустое множество простых чисел. Тогда если в группах  и  силовские -подгруппы сопряжены (в часности, если  состоит из одного простого числа), то найдутся силовские и одновременно холловы -подгруппы  и  соответственно групп  и  такие, что

1.2.26 Л е м м а (Н.С. Черников [25], Зайцев [26]). Пусть  – конечная группа, факторизуемая двумя подгруппами  и ;  и  – некоторые подгруппы соответственно групп  и  – подгруппа, порожденная подгруппами  и  Тогда выполняется следующее неравенство для индексов:

 

 

1.2.27 Л е м м а (Виландт [23]). Пусть  – конечная группа, факторизуемая  попарно перестановочными нильпотентными подгруппами  Если произведение каждых двух подгрупп  является разрешимой группой, то группа  разрешима.

1.2.28 Л е м м а. Пусть группа  факторизуема двумя подгруппами – инвариантной подгруппой  и некоторой подгруппой  – непустое множество элементов подгруппы  такое, что  Тогда выполняются соотношения

 

 

1.2.30 Л е м м а (Н.С. Черников [27]). Пусть  – конечная группа, разложимая в произведения  некоторых подгрупп  и  и нильпотентной подгруппы  – подгрупа группы