Перечень определений и условных обозначений
12 Введение
Изучение групп, представимых в произведение своих подгрупп является классической задачей алгебры. Изучение факторизуемых групп началось с изучения групп, разложимых в прямое произведение некоторого множества своих истинных подгрупп, т.е. при условиях, когда факторизующие подгруппы инвариантны в факторизуемой группе и пересечение любой из них с произведением остальных равно единице. Еще в XIX веке было установлено, что любая конечная абелева группа разложима в произведение некоторого множества циклических подгрупп (Фробениус и Штикельбергер [1]). В связи с этой теоремой в теорию групп пришел вопрос о конечных неабелевых группах, факторизуемых некоторым множеством своих попарно перестановочных циклических подгрупп. При этом не предлагается ни нормальность факторизующих множителей, ни единичность пересечения каждого из них с произведением остальных. Был установлен ряд свойств конечных групп, имеющих факторизацию такого рода, в частности их сверхразрешимость (теорема Хупперта [2]). Как известно, конечная нильпотентная группа – это прямое произведение -подгрупп по разным простым В связи с этим возник вопрос характеризации конечных групп, разложимых в произведение попарно перестановочных -подгрупп по разным простым Случай, когда группа является произведением своих двух силовских подгрупп, т.е. бипримарной, был рассмотрен еще Берсайдом, который установил их разрешимость. В 1938 году Ф. Холл[28] доказал свою знаменитую теорему о том, что конечная группа тогда и только тогда разложима в произведение попарно перестановочных -подгрупп по разным простым , когда она разрешима. В связи с этими результатами возник вопрос о строении конечных групп, представимых в произведение своих нильпотентных подгрупп. Ответ на этот вопрос был получен Виландтом[4] и Кегелем[19], которые установили разрешимость таких групп. Класс конечных групп, представимых в произведение своих двух некоторых нильпотентных подгрупп (кратко, динильпотентных групп) достаточно сложен. Он включает в себя сверхразрешимые группы, бипримарные, метанильпотентные и т.д. и этими примерами он далеко не исчерпывается. Даже для таких групп связь группы со свойствами подгрупп-множителей достаточно сложная и исследование ее становится весьма непростой задачей. В последние пятнадцать лет эта связь изучалась в работах многих авторов. Получено немало интересных глубоких результатов и разработаны методы исследования. Естественно, что это направление далеко не исчерпало себя и имеет широкие перспективы. Настоящая дипломная работа посвящена изучению некоторых свойств конечных разрешимых групп, представимых в виде произведения своих двух -разложимых подгрупп. В дальнейшем, для краткости, группы с таким свойством буем называть ди- -разложимые. Рассматриваются только конечные разрешимые группы. Работа состоит из перечня условных обозначений, реферата, введения, основной части, включающей три раздела, заключения и списка цитируемой литературы. Первый раздел носит справочный характер. Здесь приведены обозначения, определения и некоторые известные результаты, существенно используемые в работе. Второй раздел посвящен изложению некоторых результатов о строении групп ди- -разложимых групп. Здесь собраны из различных источников и систематизированы основные результаты о ди- -разложимых группах и получен один новый результат. Напомним следующее определение: 2.2.1 О п р е д е л е н и е. Пусть – непустая формация. Подгруппа группы называется: 1) -субнормальной в , если либо , либо существует максимальная цепь подгрупп такая, что для всех (обозначается ); 2) -достижимой в , если существует цепь подгрупп такая, что либо подгруппа субнормальна в , либо для любого (oбозначается ). 2.2.6 Т е о р е м а. Пусть – наслественная насыщенная формация, причем и – ди- -разожимая группа. Тога справиливы следующие утверждения: 1) если и то 2) если и то Основные результаты и выводы работы сосредоточены в третьем разделе, в котором изучаются свойства подгрупп ди- -разложимых групп. В 1958 году Виландт [4] ввел следующее понятие. Подгруппа группы называется факторизуемой относительно если и Хайнекен Н. [4] в 1990 году исследовал факторизуемые -проекторы в динильпотентных конечных группах для случая, когда – насыщенная формация. Группа называется динильпотентной, если , где и – нильпотентные подгруппы группы Подробнее в 1994 году Амберг В. и Хёфлинг В. [3] распространили основной результат Хайнекена на классы Шунка. В третьем разделе нами исследуются факторизуемые проекторы в ди- -нильпотентных группах. В классе всех конечных разрешимых групп получены следующие результаты. 3.2.1 Т е о р е м а. Пусть – некоторое множество простых чисел, – класс Шунка и . Если – ди- -разложимая группа, причем , то в имеется хотя бы один факторизуемый относительно -проектор. Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, то справедливо следующее: 3.2.2 С л е д с т в и е. Пусть – насыщенная формация, причем Если – ди- -разложимая группа, причем , то в имеется хотя бы один факторизуемый относительно -проектор. Следуя [], подгруппу группы назовем -картеровой подгруппой, если -нильпотентна, и содержит некоторую -холловскую подгруппу группы . 3.2.4 С л е д с т в и е. Пусть – ди- -разложимая группа. Тогда в имеется хотя бы одна факторизуемая относительно -картерова подгруппа. Следуя, [] подгруппу группы назовем -гашюцевой подгруппой, если -сверхразрешима, содержит некоторую -холловскую подгруппу группы и для индекс есть составное число. 3.2.6 С л е д с т в и е. Пусть – ди- -разложимая группа. Тогда в имеется хотя бы одна факторизуемая относительно -гашюцева подгруппа. Цель дипломной работы – изучение основных свойств конечных разрешимых произведений -разложимых групп и их факторизуемых подгрупп. В работе решены следующие задачи: – изучены свойства примитивных конечных разрешимых произведений -разложимых групп; – найдены условия факторизуемости -проекторов конечных разрешимых произведений -разложимых групп для случая, когда – класс Шунка конечных разрешимых групп; – найдены приложения полученных результатов для классических формаций. Объектом исследования являются конечные разрешимые произведения -разложимых групп и их подгрупп. Предметом исследования – свойства конечных разрешимых произведений -разложимых групп и их подгрупп. Методология и методы исследования. В дипломной работе используются методы доказательств абстрактной теории конечных групп, а также методы теории классов конечных групп. Новизна полученных результатов: Результаты первых двух разделов носят в основном реферативный характер. Теорема 2.2.6 является новой. Параграф 3.1 раздела 3 взят из работы Васильевой Т.И. [36]. Параграф 3.2 содержит новые результаты. Практическое применение и экономическая значимость работы: Результаты дипломной работы могут быть использованы в научно-исследовательской работе студентов, аспирантов, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.
Необходимые сведения
Перечень определений и условных обозначений Рассматриваются только конечные группы. Ниже мы приводим известные определения и понятия, которые существенно используются в работе. – простое число; – группа; – класс групп; – некоторое множество простых чисел; – дополнение к во множестве всех простых чисел; – множество всех различных простых делителей порядка группы G; – множество всех различных простых делителей порядков групп, которые принадлежат ; – формация; – класс всех нильпотентных групп; – класс всех нильпотентных -групп; – класс всех нильпотентных -групп; 1.1.1 О п р е д е л е н и е. Подгруппа группы называется факторизуемой относительно если и 1.1.2 О п р е д е л е н и е. Группа называется динильпотентной, если где и – нильпотентные подгруппы группы 1.1.3 О п р е д е л е н и е. Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами. 1.1.4 О п р е д е л е н и е. Холловой подгруппой конечной группы называют подгруппу, порядок и индекс которой взаимно просты. 1.1.5 О п р е д е л е н и е. Минимальной нормальной подгруппой группы называется нормальная подгруппа группы такая, что и в нет нетривиальных нормальных подгрупп группы 1.1.6 О п р е д е л е н и е. Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы называется подгруппой Фиттинга группы . Обозначается через 1.1.7 О п р е д е л е н и е. Группа дисперсивна, если она обладает нормальным рядом, факторы которого изоморфны силовким подгруппам. 1.1.8 О п р е д е л е н и е. Формацией называется класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений. 1.1.9 О п р е д е л е н и е. Формация называется насыщенной, если она является насыщенным классом, т.е. если то 1.1.10 О п р е д е л е н и е. Класс называется примитивно замкнутым классом, если все примитивные факторгруппы группы принадлежат , то 1.1.11 О п р е д е л е н и е. Классом Шунка называется класс групп, который одновременно замкнут относительно факторгрупп и является примитивно замкнутым классом. 1.1.12 О п р е д е л е н и е. Если – подгруппа группы и то называется -подгруппой. 1.1.13 О п р е д е л е н и е. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа группы которая не содержится ни в какой большей -подгруппе. 1.1.14 О п р е д е л е н и е. Пусть – некоторый класс групп. Подгруппа группы называется -проектором, если выполнены условия: и из того, что , а , всегда следует 1.1.15 О п р е д е л е н и е. Подгруппу группы назовем -картеровой подгруппой, если -нильпотентна, и содержит некоторую -холловскую подгруппу группы . 1.1.16 О п р е д е л е н и е. Подгруппу группы назовем -гашюцевой подгруппой, если -сверхразрешима, содержит некоторую -холловскую подгруппу группы и для индекс есть составное число. 1.1.17 О п р е д е л е н и е. Пересечение всех нормальных подгрупп группы факторгруппы по которым принадлежат обозначают через и называют -корадикалом группы 1.1.18 О п р е д е л е н и е. -класс Шунка – класс Шунка, для которого из условия , всегда следует .
12
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (143)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |