Общий синтетический компонент.

1) Математическая направленность ума.

Выделенные компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.

Не входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.

2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме).

3. Память на цифры, числа, формулы.

4. Способность к пространственным представлениям.

5. Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.

 

 

1.2.3. Классификация математических способностей.

Исходя из всего вышесказанного и основываясь на компонентах (параметрах) математических способностей, вы­явленных математиками, педагогами и психологами в нашей стране и за рубежом, проведу систематизацию этих параметров предложенную В.А. Гусевым в его работе «Психолого-педагогические основы обучения математике».

Классифицируя составляющие математических способностей, автор пришёл к выводу, что прежде всего их можно распределить по двум основным блокам: в первый блок входят общие характеристики мышления или умственной деятельности (формулировки этих качеств личности формально не связаны ни с какой специальной математической деятельностью); ко второму блоку относятся параметры математических способностей, непосредственно связанные с математической деятельностью учащихся. Совершенно ясно, что эти параметры следует идентифицировать по уровню их сложности, продвинутости и т. д. Отме­чу при этом, что все составляющие взяты автором из соответствующих исследований, выполненных к настоящему времени.

Итак, рассмотрим один из возможных вариантов классифи­кации составляющих (параметров) математических способно­стей учащихся (см. Приложение 1).

Оценивая предложенную классификацию параметров математических способностей, можно сделать следующие выводы.

1. Отличительной чертой данной классификации является ее направленность на целостное формирование личности каж­дого школьника, и в этой связи ее многогранность.

2. Бросается в глаза большое пересечение указанных па­раметров с общими целями обучения математике, сложность этих взаимосвязей. Важно отметить, что фундаментом во всем этом многообразии являются мыслительные процессы, это вы­двигает на первый план процессы формирования приемов мыслительной деятельности.

3. Построенная классификация играет немаловажную роль
в диагностике параметров математических способностей учащихся и позволяет дифференцировать их по уровням владе­ния теми или иными приемами мыслительной деятельности.

4. Особенно важно, что здесь выделяются некоторые врож­денные параметры (задатки), о которых нам известно не­многое.

Выводы.

Под математическими способностями следует понимать специальные особые способности, которые необходимы для успешного выполнения математической деятельности. Математические способности являются не единым образованием, а имеют сложную многогранную структуру. Успешность математической деятельности зависит не от отдельно взятой способности, а от комплекса способностей. Математическая одарённость предполагает наличие определённых природных предпосылок и проявляется только в творческой деятельности. Однако не следует забывать, что каждый человек (ученик) обладает в определен­ной мере математическими способностями. Оценить и развить эти способности — задача педагогов.

 

Глава II.

Методика развития математических способностей.

Раздел 1. Общая методика.

2.1.1. Общие положения теории развития способностей.

Диалектико-материалистическая концепция развития способностей, преобладающая в отечественной психологии, опирается на следующие положения. Все психические явления, включая способности, являются вторичными образованиям по отношению к объективному миру, образу жизнедеятельности человека, его обучению и воспитанию, которые служат причиной, источником психического развития. Анатомо-физиологические задатки выступают лишь необходимые условия развития человека и его способностей. Способности имеют общественно-исторический характер. Их разнообразие порождено большим количеством исторически сложившихся видов деятельности, профессий, специальностей. Способности в своем развитии в основном определяются образом жизни и деятельности и изменяются с изменением жизнедеятельности. В формировании и развитии способностей решающую, определяющую роль играют внешние условия, обучение и воспитание в самом широком смысле слова, те виды деятельности, которые выполняет человек. Личность формирует и развивает свои способности в процессе усвоения и приумножения опыта прошлых поколений, воплощенного в продуктах материальной и духовной культуры. Формирование и развитие способностей определяется не только достигнутым уровнем культурного развития страны, наличием продуктов культуры, в которых воплотились способности человека, а прежде всего эффективностью способов усвоения (присвоения), созидания и усовершенствования этих продуктов в процессе рационально организованной деятельности. Причем не всякая деятельность развивает и формирует способности человека. Рассматривая общ­ую структуру жизнедеятельности человека, нетрудно заметить существование видов деятельности, не развивающих, а наоборот, отвлекающих и даже тормозящих развитие его основных способностей. Так, если человек, имеющий музыкальные или изобразительные наклонности задатки, вынужден заниматься тяжелым физическим трудом, то эта деятельность вряд ли будет развивать его потенциальные способности к музыке и живописи. Когда говорят о развивающей деятельности применительно к отдельному индивиду, то имеют в виду, что она, во-первых, выступает как значимая для него, как деятельность, вокруг которой аккумулируются и реализуются все возможности человека. Поэтому, чтобы понять, является ли данная деятельность развивающей, ей необходимо дать личностную характеристику. В этом смысле даже профессиональная деятельность, проходя­щая через всю жизнь человека, не всегда может быть значимой для индивида. Главным признаком значимости деятельности является то, что он идет на свою работу как на праздник, с большим воодушевлением. Во-вторых, такая деятельность должна быть организована в соответствии со следующими принципами: носит не репродуктивный, а творческий (во всяком случае субъективно-творческий) характер; отвечает принципам развивающего обучения, которое ведется на повышенном уровне сложности и опережает развитие, ведя его за собой, ориентируясь на те компоненты способностей, которые еще не полностью сформировались и которые формируются под влиянием такого обучения; деятельность положительно мотивирована: учащиеся испытывают чувство большой радости, совершая ее, и отчетливо понимают свои недостатки и допускаемые ошибки, видят результаты своих действий, осознают и объективно оценивают свое продвижение к цели на каждом этапе деятельности, заметно переживают успехи и относительные неудачи.

Задача разностороннего развития способностей должна дополняться не менее важной задачей выявления одаренных детей и предоставления им возможностей для дальнейшего развития. Иначе говоря, необходимо ориентироваться на такой подход в обучении, который, реализуя разностороннее развитие способностей каждого, одновременно максимально содействует росту способ­ностей к тем видам деятельности, к которым ученик проявляет наибольший интерес и может достичь наибольших успехов.

Для реализации данной концепции развития способностей необходимо: а) создать в учебных заведениях и внешкольных учреждениях условия, благоприятствующие формированию и развитию способностей учащихся; б) применить эффективные формы учебно-воспитатель­ной работы; в) применить рациональные методы и при­емы диагностики и развития способностей.

Как известно из психологии и педагогики, благопри­ятными условиями для воспитания способностей явля­ются:

· любовь к детям и педагогической деятельности, глубокое знание индивидуально-психологических и воз­растных особенностей учащихся, хорошее знание своего дела (содержания, форм и методов учебно-воспитательной работы);

· признание в учебном заведении в системе цен­ностей приоритета творческой деятельности и творчес­кой личности; творческий климат в учебном заведении и внешкольном учреждении;

· соблюдение в процессе уп­равления учебно-творческой деятельностью учащихся гуман­ного, демократического стиля общения;

· проблемное обу­чение; решение творческих задач; показ значимости орга­низуемой творческой деятельности для воспитания спо­собностей;

· сотрудничество (сотворчество) педагога и учащихся (осуществление совместных поисков условий и средств для развития творческих способностей); сам педагог как образец творческой личности с ярко выраженной уста­новкой на педагогическое творчество;

· уважение к лич­ности учащегося в сочетании с разумной требовательностью (анализ типичных ошибок и недостатков - только в доброжелательной форме);

· организация самостоятельной деятельности (все то, что учащиеся могут выполнить без по­мощи педагога, они должны выполнить самостоятельно);

· индивидуальный подход к учащимся в процессе выявле­ния и развития способностей;

· применение педагогом методов поощрения учащихся; выражение оптимизма и веры в творческие возможности учащихся;

· хорошая обеспечен­ность педагога научно-методической литературой и тех­ническими средствами обучения;

· высокий уровень вне­классной работы;

· система морального и материального поощрения творчески работающих педагогов; внедрение в практику работы учебного заведения передового пе­дагогического опыта;

· наличие дифференцированного обучения и т.д.

Для воспитания способностей большое значение име­ют следующие формы учебно-воспитательной работы: кружки, диспуты, семинары, конференции, КВН, экскур­сии, творческие уроки, факультативы, индивидуальное обучение, индивидуальный подход к учащимся, дифференциация обучения, коллективные формы обучения, иссле­довательская и опытническая работа, викторины, игры. конкурсы, клубы по интересам, кино-, изо- и фотосту­дии, научно-технические общества, фестивали, смотры, вечера вопросов и ответов, конкурсы, турниры, олим­пиады, лекции, беседы, выставки, практикумы, допол­нительные индивидуальные занятия с учащимися, домашняя работа учащихся и др.

Основные направления в развитии и формировании способностей предусматри­вают следующие мероприятия. Во-первых, выявление (диагностика) природных задатков к определенной деятельности и анализ качества результатов деятельности. Во-вторых, тренировка и развитие природных свойств личности путем ее включения в систематическую деятельное под руководством специалиста (учителя).

2.1.2. Принципы работы по развитию математических способностей учащихся.

В данном разделе описываются наиболее суще­ственные принципы работы по развитию математических способностей учащихся, реализуемые как на уроках, так и на внеклассных занятиях. Принципы составлены Э. Ж. Гингулисом [5] на основе анализа опыта работы по развитию математических спо­собностей учащихся.

Принцип активной самостоятельной деятель­ности учащихся. Он требует от учителя четкого выделения времени на объяснение нового материала. Предпочтительно вводить теоретический материал довольно крупными порциями — тем самым быстро осознается достаточно полная система фактов, необходимых для решения за­дач по данной теме. Но после этого нужно отве­сти не часть урока, а одно или несколько заня­тий полностью на решение задач. Обычно ребя­там сообщают номера (или тексты) сразу всех 5—6 задач, которые будут решены на уроке или на кружке. Класс работает самостоятельно. Сильные учащиеся при этом загружены весь урок, хотя оформлять решение до конца для них необязательно, достаточно сообщить учителю о том, что получены верные ответы. Основная часть класса справляется с меньшим числом заданий, но при этом тоже работает самостоя­тельно. Роль учителя сводится к выборочному контролю, к занятию с отстающими.

Принцип учета индивидуальных и возраст­ных особенностей учащихся предполагает нали­чие у учителя четких представлений о возможностях каждого ученика, о динамике роста его потенциала. С учетом этой динамики нужно предлагать индивидуальные задачи. Они должны быть доступными для учащихся средних возможностей. Тем самым ребята предохраняются от обескураживающего действия неудачи. В то же время более способные ребята требуют трудных задач, на которых они могут испытать свои умственные силы. Подготовка индивидуальных заданий требует от учителя широкой «задачной эрудиции».

К методическим средствам реализации указанного принципа относятся краткие содержа­тельные обсуждения идей и методов решения.
На определенном этапе — на рубеже VII—VIII классов — учащиеся начинают понимать, что усвоение нового метода способствует успеху в большей мере, нежели дове­денное до конца «кустарное» решение.

Принцип постоянного внимания к развитию различных компонентов математических спо­собностей заставляет отметить сложность проявления этих способностей. Учителя почти никогда не знают, какой подход обеспечит дан­ному ученику наибольший успех и продвижение
вперед. Кажется логичным заключить, что наибольшие достижения возможны при доста­точном внимании ко всем компонентам мате­матических способностей.

Достигается это с помощью правильного под­бора тематики задач, рассмотрения различных подходов к решению одной и той же задачи. Полезны приемы, направленные на повышение удельного веса геометрических, наглядных соображений. Они экономят время урока, так как наглядность может заменить и словесную формулировку условия, и подробную запись решения.

При разборе задач очень важно помнить о принципе соревнования. Во внеурочных усло­виях хорошо зарекомендовали себя различные математические олимпиады, «бои» и т. д., но элементы состязания возможны и на уроке. К соревнованию побуждают следующие вопро­сы учителя: «Кто решит быстрее? У кого реше­ние получилось самое короткое? Самое простое? Самое неожиданное?» и т. д.

Иногда высказывается мнение, что соревно­вания травмируют, деформируют сознание школьников и в результате слабые учащиеся еще острее чувствуют свою отсталость, а луч­шие «математики» класса зазнаются. Эти опасе­ния имеют основания. Но существуют и меры компенсации: предлагаемые задания должны быть посильны. Следует учитывать также, что учащиеся VII — IX классов уже довольно трезво оценивают свои математические способности. Венгерский психолог Э. Гефферт установила, что высокоодаренность не сочетается с эгоцентризмом и негативными социальными установками. Э. Гефферт пришла также к следующему выводу: «С радостью выполненная деятельность оплачивает сама себя, причем не ожидается дополнительного признания».

Рассматривая задачи, доступные учащимся, нельзя забывать о принципе профессионализма. Он требует, чтобы школьники уверенно владели системой опорных задач. Для этого нужна ежедневная работа по закреплению навыков, повторению ключевых идей и методов. Кроме того необходимо следовать принципу яркости. Это означает, что занятия должны быть разнообразны по форме и интересны по содержанию. Свою подлинную увлеченность предметом учитель может продемонстрировать подбором красивых и разнообразных задач, рассказами из истории математики.

На внеурочных занятиях есть возможность реализовать принцип полной нагрузки. Речь идёт о поддержании достаточно высокого уровня задач, предлагаемых на кружке или факультативе. Кроме того, имеется в виду повышенная скорость обсуждения решений и большая нагрузка на домашнюю работу ученика. Дома школьник в состоянии подготовить доклад по какому-то теоретическому вопросу, придумать красивую задачу, написать сочинение на математическую тему и т. д.

B заключение подчеркнем, что развитие у учащихся математических способностей напрямую зависит от личности учителя. Если школьникам
будет неинтересно с ним, если они не почувствуют роста своих возможностей, то они прекратят углубленные занятия математикой.

2.1.3. Развитие математической одарённости.

Для освещения проблемы одарённости в своей работе за основу я взяла жизненный путь и взгляды замечательного русского математика –Колмогорова Андрея Николаевича. Такой выбор неслучаен, так как в случае А.Н. Колмогорова нам предлагается редкая и, видимо, полезная в научном смысле ситуация: – математический гений размышляет по поводу развития математических способностей у детей и юношества. Следует учесть при этом, что он почти всю жизнь конкретно, как педагог, занимался развитием одаренных детей и юношей, постоянно анализируя свой собственный опыт в этом отношении.

На вопрос о пути своего становления как математика Андрей Николаевич отвечал, что его путь в математику был «извилистым». В детстве Колмогоров не был вундеркиндом. Иначе говоря, не было того резкого умственного опережения, которое заставляет окружающих возлагать на ребенка особые, редко оправдывающиеся надежды на замечательное будущее. Правда, как он сам пишет [9], «интерес к математике проявился достаточно рано. Так, где-то в четыре-пять лет придумал и сам решил такую задачу: имеется пуговица с четырьмя дырочками. Для ее закрепления достаточно протянуть нитку, по крайней мере, через две дырочки. Сколькими способами можно закрепить пуговицу?».

В этом же возрасте, по его словам, «испытал радость математического открытия», открыв закономерность - образование последовательных квадратов:

1=1²
1+3=2²

1+3+5=3²
1+3+5+7=4² и так далее.

Но потом, в средних классах, победили другие интересы: он всерьез увлекается биологией, потом появились шахматы. Когда кончил среднюю школу, то занимался серьезным образом в семинаре С.В. Бахрушина. При этом увлекала металлургия и параллельно с университетом поступил на металлургический факультет химико-технологического института и некоторое время там проучился. «Окончательный выбор математики как профессии,- пишет Колмогоров, - произошел, когда я начал получать первые самостоятельные научные результаты, то есть лет с восемнадцати-девятнадцати».

Свой обычный, ни в коей мере не ускоренный тип развития Колмогоров рассматривал как неслучайный и принципиальный для развития творческих способностей и несколько скептически относился к так называемым «вундеркиндам».

А.Н. Колмогоров уже тогда, тридцать лет назад, видел опасность, которая сейчас стала очевидной для большинства психологов, работающих в области одаренности. Он весьма скептически относился к тому, что по выражению Н.С. Лейтеса, относится только к «возрастной одаренности». Колмогоров в переписке с Крутецким пишет, что «мы теряем много медленно развивающихся потенциально крупных талантов» [29]. И далее еще жестче - « в последние годы эта опасность сильно возросла при развившемся ажиотаже вокруг «одаренности» и особенно математической». Ускоренное прохождение школьной программы, вообще ускоренное развитие, которое много лет является чуть ли не главным критерием высоких способностей, по мнению Колмогорова, мало о чем свидетельствует.

Именно потому для всех, кто работает с одаренными детьми- математиками, он ставит следующие вопросы:

1. «в каком возрасте можно, независимо от тренированности и различий в физиологически обусловленных темпах развития уловить хотя бы в первом приближении математические способности…

2. в каком возрасте форсированное развитие задатков математического мышления уже реально влияет на достижение «потолка» способностей».

Оба этих вопроса в другом месте – в ответах на анкету - формулируются им с почти максимальной степенью четкости:
«сейчас дело идет о выявлении математически одаренных детей с целью организованного форсирования их математических занятий. Следует решить не вопрос о том, когда это возможно, а когда это целесообразно (подчеркнуто А.Н. Колмогоровым)».

Такую постановку вопроса он дополняет личным опытом, весьма уместным, имея в виду масштаб его математического дарования: « что касается лично меня, то я думаю, что ни я сам, ни математическая наука ничего не потеряли из–за того, что задача «выявления» (кавычки Колмогорова) моих математических способностей была предоставлена мне самому. Я начал систематически дополнительно заниматься математикой в возрасте 15-16 лет, когда сам решил, что это серьезное и нужное дело».

Есть и другая точка зрения, которой следуют многие наши педагоги и даже психологи - специалисты по одаренности. Они считают, что чем раньше развивать специальные способности, тем лучше. (Кстати, и В.А. Крутецкий, в переписке с которым Андрей Николаевич обозначил эти мысли, судя по монографии, считал возможным и необходимым ранние специализированные занятия с одаренными к математике детьми.) Если иметь в виду последние физиологические и психофизиологические исследования о сензитивных периодах развития, с одной стороны, и исследования о закономерностях развития общих способностей, с другой, то приходится признать, что позиция, представленная выдающимся математиком, психологически значительно больше обоснована, чем бытующая в ряде школ система раннего интенсивного и специализированного обучения одаренных детей.

Как считает Колмогоров, «до 10-12 лет - с довольно хорошим успехом заменим общим воспитанием сообразительности и умственной активности». « Весьма желательны», - пишет Колмогоров,- и внешкольные занятия - типа математических кружков, но в них « следует по возможности избегать установки на предопределение будущих профессиональных интересов» [9].

Другое дело старшие классы, где «запоздание с усвоением строгой логики и специальных математических навыков в 14-15 лет делается уже трудно восполнимым».

Уже тогда, тридцать лет назад, Колмогоров четко определяет для себя разницу между высокими способностями к изучению математики, с одной стороны, и собственно творческими способностями в этой области, с другой.

По мысли Колмогорова, чтобы стать творческим математиком, нужно, во-первых, сохранять, культивировать у себя своего рода «детское мышление». По мнению А.Н. Колмогорова, способности к математическому творчеству у человека тем выше, чем на более ранней стадии общечеловеческого развития он остановился. Самый гениальный наш математик: (судя по всему, имеется в виду Гаусс),- говорил А.Н. Колмогоров, остановился в возрасте четырех-пяти лет, когда «дети любят отрывать ножки и крылышки насекомым». Себя А.Н. Колмогоров считал «остановившимся на уровне тринадцати лет, когда мальчишки очень любознательны и интересуются всем на свете, но взрослые интересы их еще не отвлекают».

Самодиагноз Андрея Николаевича с психологической точки зрения безупречен. Если учесть невероятную широту «посторонних» научных интересов математика Колмогорова - от гидродинамики до поведения в русской речи падежа, знать его литературные вкусы - от Евтушенко до Томаса Манна и Ахматовой, его культ дружбы и то особое место, которое в его жизни занимал спорт, то в этом случае возникает именно образ типичнейшего подростка. Но у Колмогорова есть еще одно условие для развития математической интуиции, необходимой для творчества. Впрочем, это условие некоторым образом связано с первым. Это обязательные для любого творческого ученого интересы, выходящие за рамки его профессии – прежде всего интересы в искусстве и литературе. (Конечно, в этом отношении Колмогоров не одинок. А. Эйнштейн много раз писал, что «Достоевский дает ему очень много, гораздо больше, чем Гаусс»).

Особое значение для Колмогорова имела музыка. Он считал, что «между математическим творчеством и настоящим интересом к музыке имеются какие-то глубокие связи». Далее он ссылается на своего друга, П.С. Александрова, у которого «каждое направление математической мысли, тема для творческих размышлений связывались с тем или иным конкретным музыкальным произведением». Решая вопрос, стоит ли брать какого-то студента или аспиранта в ученики, Колмогоров всегда принимал во внимание его нематематические, общекультурные интересы.

Следует отметить, что современные психофизиологические исследования подтвердили особую связь музыки и математики. Так, именно у выдающихся математиков и музыкантов были обнаружены так называемые «гармоники», т.е. особые биоэлектрические показатели, определенным образом возникающие в ответ на стимуляцию мозга.

Обобщая выше сказанное, можно сделать следующие выводы:

1. По мнению Колмогорова, ускоренное («вундеркиндное») развитие не только не обязательно для достижения в будущем высокого профессионального (творческого) уровня, но в большей степени чревато возможностью неудач и даже психических отклонений. При диагностике математических способностей у детей категорически нельзя ориентироваться на темп развития и обучения.

2. Великий математик считал, что недопустима ранняя специализация способностей. Лишь с расцвета подросткового возраста (с 12-13 лет) можно начинать расширенное и углубленное обучение математике.

3. Для развития творческих способностей к математике, считает Колмогоров, необходимо выйти за пределы самой математики и развивать у ребенка, подростка или юноши общекультурные интересы, в частности, интерес к искусству (прежде всего - музыке) и поэзии.

В заключение хотелось бы добавить, что в способ­ных детях таланты развиваются только в результате самостоятельной умственной работы, привычки преодолевать разные трудности. Такие условия дает самообуче­ние и разумное одиночное обучение, не обучающее, но ободряющее и завлекаю­щее. Полная самостоятельность в посильных вопросах, и своевременное разъяснение учителя в вопросах, превышающих силы ученика, способствуют развитию и воспитанию таланта.

Выводы.

Процесс развития математических способностей учащихся требует от учителя большого профессионализма. Для обеспечения эффективности своей деятельности педагог должен владеть разнообразными методами обучения, использовать в своей работе многочисленные приёмы и средства обучения. Его деятельность должна быть направлена на развитие самостоятельности и творческого потенциала в учениках. Поэтому для успешного осуществления своей деятельности учитель нуждается в разнообразных методических пособиях и рекомендациях, в обмене педагогическим опытом с другими учителями. В следующем разделе будут рассмотрены конкретные рекомендации по организации процесса развития математических способностей на уроке и внеклассных занятиях.

 

Раздел 2. Частная методика.

2.2.1. Развитие математических способностей на уроках математики.

В подавляющем большинстве учебников и ди­дактических пособий для средней школы практи­чески отсутствуют задачи, которые способствовали бы подготовке учеников к деятельности творческо­го характера и формирова­нию у них соответствующих математических способностей. Математические знания учащихся слишком часто оказываются формальными и невостребован­ными, у основной массы учащихся не формирует­ся разумный подход к поиску способа решения незнакомых задач.

Поэтому на уроках математики необходимо более активно заниматься развитием навыков в применении общих форм математической деятельности, таких, как:

· использование известных алгоритмов, формул, процедур;

· кодирование, преобразование, интерпретация:

· классификация и систематизация;

· правдоподобные рассуждения;

· выдвижение и проверка гипотез, доказатель­ство и опровержение;

· разработка алгоритмов.

В данном разделе будут рассмотрены задачи раз­ного уровня сложности, решение которых способ­ствует развитию у учащихся навыков в использова­нии некоторых из выделенных выше общих форм математической деятельности.

1. Использование известных алгоритмов, формул, процедур.

К сожалению, в преподавании математики в рос­сийской школе по-прежнему доминирует формаль­ный подход, связанный с отработкой конкретных методов решений. Существует такой тезис: «Если уча­щемуся предлагают упражнения только одного типа, выполнение каждого из них сводится к одной и той же операции, если эту операцию не при­ходится выбирать среди сходных и условия, дан­ные в упражнении, не являются для учащегося не­привычными и он уверен в безошибочности своих действий, то учащийся перестает задумываться об их обоснованности». Этот тезис можно подкрепить описанием следующей пси­холого-дидактической закономерности: последовательность рассуждений (А, В, С ..... М), повторяющаяся при решении однотипных задач, может свертываться до со­ставной ассоциации (А, М). Однако обратный процесс — развертывание — происходит без по­терь не у всех учащихся.

Этот эффект хорошо известен составителям ва­риантов вступительных экзаменов в высшие учеб­ные заведения: какова бы ни была по сути проста задача, но если ее решение предполагает использо­вание двух различных (хотя бы и известных) алго­ритмов или же если в нем должно содержаться некоторое исследование (к примеру, по парамет­ру), то массовые ошибки неизбежны. Более того, ошибки часто появляются и в том случае, если ал­горитм используется в ситуации, в которой он не­применим.

Задача 1.1. Решите систему

Решение этой задачи, как нетрудно видеть, сво­дится к цепочке простых логических рассуждений и использованию стандартных формул. Однако для того, чтобы получить правильный ответ, эти стан­дартные формулы следует правильно использовать. Не приводя ответ полностью, выпишем одну из четырех серий решений

                                          (1)

К сожалению, слишком многие учащиеся бездум­но отождествляют параметры k и n и вместо се­рии (1) пишут, что

упуская тем самым, условно говоря, большую часть решений этой серии.

Задача 1.2. Некоторое число умножили на 3, а затем к полученному произведению прибавили 2. Верно ли, что полученное число больше исходного?

Ясно, что За + 2 > а только при а > - 1, но какой процент, к примеру, семиклассников сразу даст верный ответ?

Реакция учащихся на последнюю из проводимых в этом разделе задач продемонстрирует степень их понимания стандартной схемы решения иррацио­нальных уравнений.

Задача 1.3. Решите уравнение

Большая часть учеников начнет решение с нахождения ОДЗ и раскрытия модуля. А между тем можно сразу перейти к урав­нению

Целесообразно задать учащимся такой вопрос: «Как вам кажется, какое уравнение проще решить, дан­ное выше или уравнение ?».

2. Кодирование, преобразование, интерпретация.

Простейшим примером использования указан­ных форм деятельности является их внутриматематическое применение, к примеру, замена перемен­ной, перевод задачи с одного математического язы­ка на другой (от алгебры к геометрии и обратно).

Кодирование или переформулирование способст­вует выявлению скрытых свойств объектов (суще­ственных для данной задачи) путем включения их в другую систему связей. Использование разнооб­разных формулировок задачи способствует ее по­ниманию. Культура мышления предполагает раз­витое умение думать об одном и том же на разных языках.

Нужно уметь создавать и пользоваться различ­ными моделями. А потому важно научить школь­ников формализовывать задачи и переводить усло­вия и результаты с одного языка на другой, т.е. кодировать информацию, понимать смысл (т.е. интерпретировать) полученных в результате иссле­дования результатов. Многие школьные задачи со­держат в себе элементы кодирования, преобразо­вания, интерпретации (к примеру, практически все текстовые задачи, но далеко не только они). При­ведем примеры.

Задача 2.1. Докажите, что если от произвольного двузначного числа отнять двузначное число, записан­ное теми же цифрами в обратном порядке, то полу­чится число кратное девяти.

Самая первая кодировка, с которой знакомятся школьники в процессе обучения математике, — это десятичная (позиционная) запись натуральных чи­сел. Если — исходное число, то ,а число, «записанное теми же цифрами в обратном порядке», равно , поэтому их разность  кратна девяти.

Задача 2.2. Вычислите

Это число равно двум! Действительно, если положить , то получим выражение (а + 1)(а + 2) - а(а + 3) = а² +3а + 2 - а² - За = 2 вне зависимости от значения переменной а.

Конечно, тот же результат может быть получен, если записать каждую из входящих в данное выра­жение дробей в виде

и раскрыть скобки. При таком способе решения еще придется увидеть (не используя калькулятор), что 1997∙1998 -1996 ∙1999 = 2.

Самое время сказать несколько слов о роли каль­куляторов в обучении математике. Если он имеет­ся у каждого учащегося в классе, то бессмысленно предлагать подобную единичную задачу; ясно, что ее математическое содержание останется нераскрытым. Необходимо дать несколько примеров, в каж­дом из которых ответ - 2, с тем, чтобы затем «раз­гадать загадку».

Задача 2.3. Проверьте, что

                                                                                            (2)

и найдите еще несколько подобных примеров.

Проверить это равенство легко, труднее найти аналогичные. Конечно, кто-то может сразу дога­даться, что 8 = 3² - 1, и написать равенство

                                                                                        (3)

справедливость которого тоже очевидна. Однако, как и в предыдущем примере, основная идея - это введение замен (подстановок). Запишем равенство

Его частными случаями являются равенства (2) и (3). В результате мы построили своего рода мо­дель. Все что осталось сделать, — это исследовать ее, т.е. найти соотношение между а и b,при выполнении которого справедливо наше обобщен­ное равенство. А для этого надо провести простые преобразования:

, или , откуда .

3. Классификация и систематизация

Классификация — общепознавательный прием, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающие­ся подмножества (классы) в соответствии с так называемым основанием классификации, т.е. при­знаком, существ