Исследование математических способностей в зарубежной психологии.

В исследование математических способностей внесли свой вклад такие яркие представители определенных направлений в психологии, как А.Бинэ, Э.Трондайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А.Пуанкаре и Ж. Адамар.

Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических обобщениях.

Единственное, в чем сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о врожденности или приобретенности математических способностей. Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей – «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство – творческие способности ученого-математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи высказываются не столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов – биологического потенциала и среды.

Основным вопросом в исследовании математических способностей (как учебных, так и творческих) за рубежом был и остается вопрос о сущности этого сложного психологического образования. В этом плане можно выделить три важные проблемы.

1. Проблема специфичности математических способностей. Существуют ли собственно математические способности как специфическое образование, отличное от категории общего интеллекта? Или математические способности есть качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Иначе говоря, можно ли утверждать, что математическая одаренность – это не что иное, как общий интеллект плюс интерес к математике и склонность заниматься ею?

2. Проблема структурности математических способностей. Является ли математическая одаренность унитарным (единым неразложимым) или интегральным (сложным) свойством? В последнем случае можно ставить вопрос о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного психического образования.

3. Проблема типологических различий в математических способностях. Существуют ли различные типы математической одаренности или при одной и той же основе имеют место различия только в интересах и склонностях к тем или иным разделам математики?

По вопросу о специфике математических спо­собностей, хотя и нельзя констатировать наличие единого мнения, но большинство ученых, среди которых такие крупные авторитеты в области психологии, как А. Бинэ, Г. Ревеш, и в области математики, как Ж. Адамар и А. Пуанкаре, явно скло­няются в пользу признания специфичности математического таланта. А. Бинэ прямо и недвусмысленно указывал на то, что «мате­матический ум предполагает совершенно специальную способность». А. Пуанкаре и впоследствии Ж. Адамар говорили о специфике мышления математика, о своеобразной, свойственной математикам «математической ин­туиции», о подсознательной творческой работе. Хотя Адамар и отмечал, что математическая одаренность и математическое творчество как-то связаны собщим интеллектом, творчеством вообще (упоминая в этом отношении о фактах связи математи­ческой одаренности с одаренностью в других областях), но он же указывал на частые случаи «ограниченности» математическо­го ума. Ревеш высказывает убеждение в том, что математический талант есть специфическая форма таланта, которую необходимо отличать от других форм научного таланта. Математический талант может проявляться вместе с другими талантами, но он органически не связан с ними; таланты к другим наукам возможны без мате­матической способности и даже при абсолютном отсутствии пос­ледней.

Вопрос о структурности математических учебных способностей принимал у психологов прежде всего форму вопроса о том, нужно ли говорить о математических способностях как об едином свойстве или пра­вильнее говорить об арифметических, алгебраических и геомет­рических способностях. Еще в 1909—1910 гг. К. Стоун и независимо от него С. Куртис, изучая достижения в арифметике и способности к этому предмету, пришли к выводу о том, что едва ли можно говорить о математических способностях как об едином целом, даже в отношении арифметики. В 1910 г. была опубликована большая статья В. Брауна «Объ­ективное исследование математических способностей», в которой говорилось, что успешность в алгебре и геометрии определяется качественно различными свойствами и что нет свойства, которое лежало бы в основе ма­тематических способностей вообще. Исследований по выявлению компонент математических способностей проводилось большое количество, но они не дают более или менее ясного и четкого представления о структуре математических способностей. Для примера приведу результаты исследования структуры математического мышления, проводимого В. Хаекером и Т. Цигеном. Авторы прежде всего выделили четыре основных сложных компонента, составляющие «ядро» математического мышления: пространственный, логический, числовой и символический. Даль­ше они попытались каждый из этих компонентов разложить на более простые составляющие. Получилась такая схема:

A. Пространственный компонент.

1. Понимание пространственных фигур, образов и их ком­плексов (синтезов, гештальтов).

2. Память на пространственные образы (пространственные
представления).

3. Пространственные абстракции (умение видеть у простран­ственных объектов общие признаки).

4. Пространственное комбинирование (понимание и самостоятельное нахождение связей и отношений простран­ственных объектов).

B. Логический компонент.

1. Образование понятий (типа «синус», «логарифм», «тензор»
и т. д.) и понятийных абстракций.

2. Понимание, запоминание и самостоятельное нахождение
общих понятийных связей.

3. Понимание,   запоминание и самостоятельное выведение
заключений и доказательств по правилам формальной
логики.

C. Числовой компонент.

1. Образование числовых представлений.

2. Память на числа, числовые решения.

D.Символический компонент.

1. Понимание символов.

2. Запоминание символов.

3. Операции с символами.

Обобщая результаты большинства исследований, мы получим самые общие характеристики математического мы­шления, такие, как способность к абстракции, способность к логи­ческому рассуждению, хорошая память, способность к простран­ственным представлениям и т. д.

Перейдём к вопросу о типологии математических способностей. Наиболее распространенной в зарубежной психологии яв­ляется типология математических талантов, основанная на противопоставлении дискурсивного, развернутого во всех своих звеньях мыслительного процесса, интуитивному мыслительному процессу, связанному с непосредственным «схватыванием» необ­ходимых отношений. Еще Р. Декарт в своих «Правилах для руководства ума» противопоставлял цепи последовательных логических умо­заключений интуицию как непосредственное усмотрение связей и отношений между различными явлениями. Ж. Адамар говорит о логическом и интуитивном математическом мышлении (и соот­ветственно о двух типах математиков). «Логика» отличает зна­чительно меньший «удельный вес» бессознательного в мышлении, более узко направленная мысль, последовательность и ясная расчлененность мыслительного процесса. Мышление «интуити­виста» характеризуется значительно большим удельным весом бессознательного, более «рассеянной» мыслью, быстротой и сокращённостью («свернутостью») мыслительного процесса.

Интересен взгляд западных учёных на сущность математического творчества. В работах А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Г. Ревеша встречаются следующие идеи. Ход мыслительного процесса ученого может осознаваться не во всех своих звеньях. Ученому свой­ственно не только «развернутое» дискурсивное мышление, но и так называемое интуитивное мышление, протекающее в сокра­щенном, «свернутом» виде. Оно усматривает или открывает существенные связи раньше, чем дискурсивное мышление успеет доказать их соответствие действительности. Это часто и воспринимается как бессознательная творческая ра­бота. Можно установить определенные стадии творческого процесса: 1) период бесплодного сознательного обду­мывания; 2) период отвлечения от работы, период отдыха или переключения на другую деятельность. В это время активно ра­ботает подсознательное мышление, происходит «инкубация» идеи; 3) внезапное «озарение», открытие истины в тот момент, когда человек меньше всего думает о предмете; 4) снова созна­тельная работа над анализом и отшлифовкой идеи.