ПОДГРУППА ФИТТИНГА И ЕЁ СВОЙСТВА

 

Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы  называют подгруппой Фиттинга группы  и обозначают через . Множество простых делителей порядка группы  обозначается через  а наибольшую нормальную -подгруппу группы  - через .

Лемма 1.1. (1)  - наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы ;

 

(2) ;

(3) .

 

Proof. (1) Пусть  и  - нильпотентные нормальные подгруппы группы  и пусть  и  - силовские -подгруппы из  и . Так как , а , то  по лемме 4.1, с. 35. Аналогично, , поэтому . Ясно,  - -группа. Покажем, что она силовская в . Для этого вычислим ее индекс:

 

 

Так как числитель не делится на , то  - силовская -подгруппа группы . Итак, произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп есть нормальная нильпотентная подгруппа. Поэтому  - наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы .

(2) Ясно, что  для всех , поэтому

 

Обратно, если  - силовская -подгруппа группы , то  и  нормальна в , поэтому  и

 

 

(3) Если , то  и  нильпотентна, поэтому  по (1) и .

Лемма 1.2. (1) ; если  разрешима и , то ;

 

(2)

(3) если , то ; если, кроме того,  абелева, то

 

Proof. (1) Поскольку подгруппа Фраттини  - нильпотентная нормальная подгруппа группы , то . Пусть  - разрешимая неединичная группа. Тогда  разрешима и неединична. Пусть

 

 

Так как  - -группа для некоторого простого , то по следствию 4.2, с. 35, подгруппа  нильпотентна и . Следовательно, .

(2) Если , то  - нильпотентная нормальная в  подгруппа по теореме 4.3, с. 35, поэтому  и

 

 

Обратное включение следует из определения подгруппы Фиттинга.

(3) Для минимальной нормальной подгруппы  либо , либо . Если , то

 

 

Если , то  - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как , то . С другой стороны,  по теореме 4.4, с. 35, поэтому .

Теорема 1.3.  для любого . В частности, если  разрешима, то

Proof. Пусть , . Так как  по лемме 4.5, с. 35, то . Предположим, что  для некоторого  и пусть

 

 

Ясно, что  и  Пусть  - силовская -подгруппа группы . Так как

 

 

-группа, то , а поскольку , то  и . Теперь,  - нильпотентная нормальная подгруппа группы  и . Таким образом,  и первое утверждение доказано. Если  разрешима, то  разрешима, поэтому  и .

Говорят, что подгруппа  группы  дополняема в , если существует такая подгруппа , что  и . В этом случае подгруппу  называют дополнением к подгруппе  в группе

Теорема 1.4. Если  - нильпотентная нормальная подгруппа группы  и , то  дополняема в .

Proof. По условию  а по теореме 4.6, с. 35, коммутант . По теореме 4.7, с. 35, подгруппа Фраттини  а по условию  Поэтому  и  абелева. Пусть  - добавление к  в . По лемме 4.8, с. 35,  Поскольку  и  то  и по теореме 4.7, с. 35,

 

 

Следовательно,  и  - дополнение к  в .

Теорема 1.5. Факторгруппа  есть прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы .

Proof. Предположим вначале, что  и обозначим через  подгруппу Фиттинга  По теореме 4.6 коммутант  Но  значит  по теореме 4.7, с. 35. Поэтому  и  абелева. Пусть  - прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы  наибольшего порядка. Тогда  и по теореме 1.4 существует подгруппа  такая, что  По тождеству Дедекинда  Но  абелева, поэтому  а так как , то  По выбору  пересечение  и

Пусть теперь  и  По лемме 1.2(2)  Так как  то для  утверждение уже доказано.

Следствие 1.6. В разрешимой группе с единичной подгруппой Фраттини подгруппа Фиттинга есть прямое произведение минимальных нормальных подгрупп.

Теорема 1.7. Подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторов группы.

Proof. Пусть

 

По следствию 4.9, с. 35, подгруппа  нормальна в . Если

 

 

главный ряд группы , то

 

 

нормальный ряд группы . Так как подгруппа  содержится в каждой подгруппе , то

 

 

для . По теореме 4.10, с. 35, подгруппа  нильпотентна, поэтому .

Проверим обратное включение. Пусть  - главный фактор группы . Так как

 

 

то по лемме 4.11, с. 35, либо

 

 либо

 

В первом случае , поэтому

 

Во втором случае из нильпотентности подгруппы  по лемме 1.2 получаем, что

 

 

Снова . Таким образом,  и .

Лемма 1.8. .

Proof. Пусть . Ясно, что  и . Так как

 

 

то  и  изоморфна нормальной нильпотентной подгруппе группы . Поэтому

 

и .

 

Пусть  - группа и пусть

 

 

Ясно, что

 

В разрешимой неединичной группе подгруппа Фиттинга отлична от единичной подгруппы по лемме 1.2. Поэтому для разрешимой группы существует натуральное  такое, что .

Нильпотентной длиной разрешимой группы  называют наименьшее , для которого . Нильпотентную длину разрешимой группы  обозначают через . Таким образом, если группа  разрешима и , то

 

 

где

 

 

Поэтому построенный ряд нормальный и его факторы  нильпотентны.

Ясно, что  тогда и только тогда, когда группа  нильпотентна.

Пример 1.9. .

Непосредсвенно из определения нильпотентной длины вытекает

Лемма 1.10. Пусть  - разрешимая группа. Тогда:

 

(1) ;

(2) .

 

Лемма 1.11. (1) Если  - разрешимая группа, то длина любого нормального ряда группы  с нильпотентными факторами не меньше, чем .

(2) Нильпотентная длина разрешимой группы совпадает с длиной самого короткого нормального ряда с нильпотентными факторами.

Proof. (1) Применим индукцию по порядку группы . Пусть

 

 

нормальный ряд группы  с нильпотентными факторами. Так как  - нормальная нильпотентная подгруппа группы , то  и . Здесь . Факторгруппа  имеет порядок меньше, чем порядок группы  и обладает рядом

 

 

где . Ясно, что это нормальный ряд, его длина  и его факторы

 

 

нильпотентны. По индукции  и .

(2) следует из (1).

Лемма 1.12. Пусть  - разрешимая группа. Тогда:

(1) если , то ;

(2) если , то ;

(3) если  и , то

 

в частности, если  и  - разрешимые группы,то

 

(4) .

 

Proof. Пусть  и . Тогда

 

 

(1) Пусть . Тогда ряд

 

 

будет нормальным рядом подгруппы  с нильпотентными факторами

 

 

По лемме 1.11 .

(2) Пусть  и . Тогда ряд

 

 

будет нормальным рядом группы  с нильпотентными факторами

 

По лемме 1.10 .

(3) Ясно, что . Обозначим . Тогда  по лемме 1.10, а по индукции

 

 

Поэтому . Так как  по (1), то имеем

 

 

(4) Положим . По лемме 1.2 для неединичной разрешимой группы  имеем  и

 

 

Поэтому .

Следующая теорема принадлежит К. Дёрку.

Теорема 1.13. Если  - максимальная подгруппа разрешимой группы , то , где .

Пример. Воспользуемся индукцией по порядку группы . Пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы . Если , то  и , где . Поэтому можно предположить, что все минимальные нормальные подгруппы группы  содержатся в . Если группа  содержит две различные минимальные нормальные подгруппы, то  и по индукции

 

Поскольку

 

 

то теорема справедлива. Следовательно, можно считать, что группа  содержит в точности одну минимальную нормальную подгруппу. Если , то  по лемме 1.12 и опять

 

 

Поскольку

 

 

то опять теорема справедлива.

Итак, можно считать, что  и  по следствию 1.6. По индукции

 

 

Если , то утверждение справедливо. Пусть , т.е. . Считаем, что  - -группа. Тогда  - -группа. Пусть . Если , то  и , поэтому

 

 

и теорема справедлива.

Остается случай, когда . Так как  - -подгруппа, то

 

 

причем  - -группа. Противоречие.

Пример 1.14.

Все три значения  в теореме 1.13 имеют место. Значение  выполняется на любой нильпотентной неединичной группе. Значение  выполняется на группе  с максимальной подгруппой . Значение  выполняется на группе , у которой силовская -подгруппа максимальна.

Если факторгруппа  нильпотентна, то группу  называют метанильпотентной.

Теорема 1.15. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

(2) В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Обозначим через  пересечение всех максимальных подгрупп группы , не содержащих , а через  пересечение максимальных подгрупп группы , содержащих . Ясно, что подгруппы  и  характеристические в группе  и

 

 

(1) В факторгруппе  подгруппа Фиттинга

 

по лемме 1.2, поэтому

 

 

Предположим, что  и пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Так как подгруппа  нормальна в группе  и факторгруппа  нильпотентна, то по теореме 4.3, с. 35, подгруппа  нильпотентна и . Но теперь

 

 

противоречие. Поэтому допущение неверно и , т.е. .

(2) Пусть  - разрешимая ненильпотентная группа. Ясно, что  и

 

 

Поэтому подгруппа  метанильпотентна.

Пример 1.16. В неразрешимой группе  центр, подгруппа Фраттини и подгруппа Фиттинга совпадают и имеют порядок . Поэтому в группе  нет максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

Следовательно, утверждение (1) теоремы 1.15 в неразрешимых группах нарушается.

 

2 -ДЛИНА -РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ

 

Пусть  - простое число. Назовем группу -группой, если ее порядок не делится на  и, как обычно, -группой, если её порядок равен степени числа . Конечную группу  будем называть -разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо -группой, либо -группой. Таким образом, группа  разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она -разрешима для всех простых . Ясно, что группа -разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

 

 

в котором каждая факторгруппа  является либо -группой, либо -группой. Поэтому для такой группы мы можем индуктивно определить верхний -ряд.

 

 

потребовав, чтобы  была наибольшей нормальной -подгруппой в , а  - наибольшей нормальной -подгруппой в .

Наименьшее целое число , для которого , мы назовем -длинной группы  и обозначим его , или, если необходимо, .

-длину -разрешимой группы можно также определить как наименьшее число -факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего -ряда (2.2). Подгруппы  и , очевидно, характеристичны в , и  содержит все нормальные подгруппы группы  с -длинной, не превосходящей числа . Заметим также, что

для

 

Подгруппы и факторгруппы -разрешимой группы  также -разрешимы, и их длина не превышает . Если группы  и  обе -разрешимы, то таково же их прямое произведение  и

Пусть  -

2019-12-29

225

Обсуждений (0)

ПОДГРУППА ФИТТИНГА И ЕЁ СВОЙСТВА 0.00 из 5.00 0 оценок

Скачать документ

---

Обсуждение в статье: ПОДГРУППА ФИТТИНГА И ЕЁ СВОЙСТВА

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Имя * Email (необязательно) Комментарий * Отправить сообщение

Популярное:

Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...

Почему в редких случаях у отдельных людей появляются атавизмы?

Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...

Почему молоко имеет высокую усвояемость?