Основная формула векторной алгебры.

 

Спроектируем вектор а на оси Х и Y прямоугольной системы координат. Найдем векторные проекции вектора а на эти оси:

а_x = а_x· i, а_y = а_y· j.

Но в соответствии с правилом сложения векторов

 

а = а_x + а_y.

Или

а = а_x· i + а_y· j.

 

 

Таким образом, мы выразили вектор через его проекции и орты прямоугольной системы координат (или через его векторные проекции).

Векторные проекции а_x и а_y называются составляющими или компонентами вектора а. Операция, которую мы выполнили, называется разложением вектора по осям прямоугольной системы координат.

Если вектор задан в пространстве, то

а = а_x· i + а_y· j + а_z· k.

 

Эта формула называется основной формулой векторной алгебры. Конечно, ее можно записать и так:

а = а_x + а_y + а_z.

 

Вычисление модуля вектора по его проекциям.

Пусть на плоскости задан вектор а .

 

Опустим с начала и конца вектора перпендикуляры на координатные оси для нахождения его проекций. В соответствии с теоремой Пифагора .

 

Отсюда

.

 

Чтобы найти модуль вектора надо извлечь корень квадратный из суммы квадратов его проекций .

 

Проекцию вектора на ось можно найти, если из координаты точки конца вектора вычесть координату точки его начала. Тогда для нашего вектора, если он задан на плоскости, а_x = х_к − х_н,
а_y = y_к − y_н.

 Следовательно, модуль вектора можно найти по формуле

.

 

 Ведь модуль вектора – это длина отрезка, заключенного между двумя точками: точкой начала вектора и точкой его конца - расстояние между двумя этими точками. Поэтому чтобы найти расстояние между любыми двумя точками, нужно вычислить модуль вектора, соединяющего эти точки.

 

Заключение:

Не следует думать, что всякая физическая величина, имеющая направление, обязательно является вектором. Электрический ток имеет направление, но это не вектор. Углу тоже придается направление (мы углы отсчитываем либо по ходу часовой стрелки, либо-против),  но и угол - не вектор.

Главным признаком того, что данная величина есть вектор является то, что, если она с себе  подобной складывается геометрически (например, по правилу параллелограмма), и в результате такого сложения мы получим величину, истинность которой подтверждается экспериментом, то, значит, складываемые величины - векторы.

Таким образом, вектором называют величину, характеризуемую числовым значением, направлением в пространстве и складывающейся с другой, себе подобной величиной геометрически .

 

Литература:

Коллекция курсов по физике» Н. С.Чернов, Москва -2009год.

Курс общей физики.» Механика. Александров Н.В., Яшкин А.Я. М.: Просвещение, 1978 год.

Курс общей физики» т.1-3, Савельев И.В. Москва- 2006 год.