Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле
12 (р-1)3р5(р+1) (2.3) Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , . При условии (2.2) не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть. Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково: а) (р-1 штук), и . Из (2.1) получаем равенство . а1) Пусть =0. Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)2р(р+1). Т.к то из выражения получаем равенство , т.е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть . Из того, что получаем . Элементом , принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4×р2×(р+1) штук. а2) Если ¹0, .Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)2р(р+1). Т.к , то, из выражения получаем . Пусть . Домножим равенство ( ) на . Заменим на (из того, что ). Получим равенство . Вынесем за скобки и т.к. делаем вывод, что . Значит и ( ). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)5×р×(р+1) штук. а3) Если ¹0, и получаем (р-1)4×р2×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1) а4) Если ¹0, , и получаем а5) Если ¹0, , и . Из того, что получаем . Пусть . Равенство ( ) умножим на и заменим на ( ). Получим равенство . Вынося за скобки ( ), замечаем, что элемент однозначно выражается через ( - р-1 штук). Но тогда тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6×р×(р+1)штук.
Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле б) (р-1 штук), ((р-1)2×р×(р+1)) штук). Т.к. , значит (2.4) б1) Пусть =0. Тогда из (2.4) выводится равенство (2.5) а из (2.5) получим . Распишем (2.5): . Т.е. однозначно выражается через элемент , которых может быть р штук, и через элементы , , , , . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4×р2×(р+1). б2) Если ¹0, .Тогда получим опять равенство (2.5) и из него . Элементов всего р-1 штук. Т.к , то получаем что . Пусть . Умножив равенство (2.5) на , выражая и произведя замену на получим равенство . А т.к. и делаем вывод, что и выражаются через все остальные элементы матрицы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям б3) Если ¹0, и получаем (р-1)4×р2×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в б4) Если ¹0, , и получаем б5) Пусть ¹0, , и . Из того, что , получаем . Пусть . Тогда преобразовывая (2.4) получаем, что однозначно выражается через и все остальные элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6×р×(р+1) штук.
Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта б) подсчитывается по формуле Значит формула (р-1)3р5(р+1) для случая 1) при условии (2.2) верна. 2) Пусть , (количество их р-1), (количество высчитывается по формуле (1.5)) и (по р штук). Тогда из (2.1) получаем . Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле (р-1)3р4(р+1) (2.6) Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , и . Но при этих условиях не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть. Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково: а) , и . Из (2.1) получаем равенство , , а из того что получаем что, например, элемент однозначно выражается через элемент (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)4р2(р+1). б) , и . Из (2.1) получаем равенство , . А из можем однозначно выразить, например, элемент через элемент (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)4р2(р+1).
3) Пусть , , (количество их p-1), (количество высчитывается по формуле (1.5)) и (по р штук). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле (р-1)[(р-1)2р(р+1)]×р×р×р (2.7) Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц порядка 3. складывая формулы (2.3), (2.6) и (2.7), полученные в этапах 1), 2) и 3) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 3 матриц над полем Zp (р-1)3р3(р+1)(р2+р+1) (2.8)
3. Общая формула для подсчета обратимых матриц над полем Zp. Используя алгоритм, описанный в предыдущих пунктах, для выведения формулы подсчета количества обратимых матриц, можем получить частные формулы для матриц произвольных порядков. Например: Для матриц порядка 4: (р-1)4р6(р+1)(р2+р+1)(р3+р2+р+1). Для матриц порядка 5: (р-1)5р10(р+1)(р2+р+1)(р3+р2+р+1)( р4+р3+р2+р+1), и т.д. Анализируя полученные результаты, можем сделать выводы, что общая формула для получения количества обратимых матриц порядка n над полем Zp выглядит так:
Данную формулу тождественными преобразованиями можно привести к виду:
§3. Обратимые матрицы над кольцом Zn
Из теоремы доказанной в § 1 следует, что для определителей матриц A и B выполняется равенство |A·B|=|A|·|B|. Для обратимых матриц A и B следует A·B=E.Следовательно |A·B|=|A|·|B|=|E|=1. Таким образом, получаем: определитель обратимой матрицы является обратимым элементом. Попытаемся сосчитать количество обратимых матриц над некоторыми кольцами вычетов по составному модулю.
Обратимые матрицы над Z4.
Всего различных матриц второго порядка над Z4: 44=256. В Z 4 обратимыми элементами являются 1и3. Рассмотрим сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1. Разобьем на следующие варианты: 1. ad=3. Возможные случаи: 1) a=1 Ù d=3, 2) a=3 Ù d=1, bc=2. Возможные случаи: 1) b=1 Ù c=2, 2) b=2 Ù c=1, 3) b=2 Ù c=3, 4) b=3 Ù c=2. Получили с данным условием 8 обратимых матриц. 2. ad=2. Возможно 4 случая (см. предыдущий пункт). bc=1. Возможные случаи: 1) b=c=1, 2) b=c=3. Получили с данным условием 8 обратимых матриц. 3. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт). bc=0. Возможные случаи: 1) b=0 Ù c=1, 2) b=0 Ù c=2, 3) b=0 Ù c=3, 4) b=1 Ù c=0, 5) b=2 Ù c=0, 6) b=3 Ù c=0, 7) b=c=0, 8) b=c=2. Получили сданным условием 16 обратимых матриц. 4. ad=0. Возможно 8 случаев (см. предыдущий пункт). bc=3. Возможно 2 случая (см. первый пункт). Получили с данным условием 16 обратимых матриц. Таким образом, по данной классификации получаем 8+8+16+16+16=48 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 3, и число таких матриц будет также равно 48. Следовательно, из 256 квадратных матриц второго порядка над Z4 обратимыми являются 96.
Обратимые матрицы над Z6 .
Всего различных матриц второго порядка над Z6: 64=1296. В Z 6 обратимыми элементами являются 1 и 5. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1: Разобьем на следующие варианты: 1. ad=5. Возможные случаи: 1) a=1 Ù d=5, 2) a=5 Ù d=1, bc=4. Возможные случаи: 1) b=1 Ù c=4, 2) b=4 Ù c=1, 3) b=2 Ù c=5, 4) b=5 Ù c=2, 5) b=c=2, 6) b=c=4. Получили с данным условием 12 обратимых матриц. 2. ad=4. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт). bc=3. Возможные случаи: 1) b=3 Ù c=1, 2) b=1 Ù c=3, 3) b=3 Ù c=5, 4) b=5 Ù c=3, 5) b=c=3. Получили с данным условием 30 обратимых матриц. 3. ad=3. Возможно 5 случаев (см. предыдущий пункт). bc=2. Возможные случаи: 1) b=2 Ù c=1, 2) b=1 Ù c=2, 3) b=2 Ù c=4, 4) b=4 Ù c=2, 5) b=4 Ù c=5, 6) b=5 Ù c=4. Получили с данным условием 30 обратимых матриц. 4. ad=2. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт). bc=1. Возможные случаи: 1) b=c=1, 2) b=c=5. Получили с данным условием 12 обратимых матриц. 5. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт). bc=0. Возможные случаи: 1) b=0 Ù c=1, 2) b=0 Ù c=2, 3) b=0 Ù c=3, 4) b=0 Ù c=4, 5) b=0 Ù c=5, 6) b=1 Ù c=0, 7) b=2 Ù c=0, 8) b=3 Ù c=0, 9) b=4 Ù c=0, 10) b=5 Ù c=0, 11) b=2 Ù c=3, 12) b=3 Ù c=2, 13) b=3 Ù c=4, 14) b=4 Ù c=3, 15) b=c=0. Получили с данным условием 30 обратимых матриц. 6. ad=0. Возможно 15 случаев (см. предыдущий пункт). bc=5. Возможно 2 случая (см. первый пункт). Получили с данным условием 30 обратимых матриц. Таким образом по данной классификации получаем 12+30+30+12+30+30=144 обратимых матриц, определитель которых Следовательно, из 1296 квадратных матриц второго порядка над Z6 обратимыми являются 288. Обратимые матрицы над Z8
Всего различных матриц второго порядка над Z8: 84=4096. В Z 8 обратимыми элементами являются 1, 3, 5 и 7. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1 Аналогично предыдущим пунктам будем придерживаться той же классификации: 1. ad=7. Возможно 4 случая. bc=6. Возможно 8 случаев. Получили с данным условием 32 обратимых матрицы. 2. ad=6. Возможно 8 случаев. bc=5. Возможно 4 случая. Получили с данным условием 32 обратимых матрицы. 3. ad=5. Возможно 4 случая. bc=4. Возможно 12 случаев. Получили с данным условием 48 обратимых матриц. 4. ad=4. Возможно 12 случаев. bc=3. Возможно 4 случая. Получили с данным условием 48 обратимых матриц. 5. ad=3. Возможно 4 случая. bc=2. Возможно 8 случаев. Получили с данным условием 32 обратимых матрицы. 6. ad=2. Возможно 8 случаев. bc=1. Возможно 4 случая. Получили с данным условием 32 обратимых матрицы. 7. ad=1. Возможны 4 случая . bc=0. Возможно 20 случаев. Получили с данным условием 80 обратимых матриц. 8. ad=0. Возможно 20 случаев. bc=7. Возможно 4 случая. Получили с данным условием 80 обратимых матриц. Таким образом, обратимых матриц, определитель которых Следовательно, из 4096 квадратных матриц второго порядка над Z8 обратимыми являются 1536. Обратимые матрицы над Z9
Всего различных матриц второго порядка над Z9: 94=6561. В Z 9 обратимыми элементами являются 1, 2, 4, 5, 7 и 8. 1. ad=8. Возможно 6 случаев. bc=7. Возможно 6 случаев. Получили с данным условием 36 обратимых матриц. 2. ad=7. Возможно 6 случаев. bc=6. Возможно 12 случаев. Получили с данным условием 72 обратимых матриц. 3. ad=6. Возможно 12 случаев. bc=5. Возможно 6 случаев. Получили с данным условием 72 обратимых матриц. 4. ad=5. Возможно 6 случаев. bc=4. Возможно 6 случаев. Получили с данным условием 36 обратимых матриц. 5. ad=4. Возможно 6 случаев. bc=3. Возможно 12 случаев. Получили с данным условием 72 обратимых матриц. 6. ad=3. Возможно 12 случаев. bc=2. Возможно 6 случаев. Получили с данным условием 72 обратимых матриц. 7. ad=2. Возможно 6 случаев. bc=1. Возможно 6 случаев. Получили с данным условием 36 обратимых матриц. 8. ad=1. Возможно 6 случаев. bc=0. Возможно 21 случай. Получили с данным условием 126 обратимых матриц. 9. ad=0. Возможно 21 случай. bc=8. Возможно 6 случаев. Получили с данным условием 126 обратимых матриц. Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 -648. Следовательно, из 6561 квадратных матриц второго порядка над Z9 обратимыми являются 3888. Обратимые матрицы над Z10
Всего различных матриц второго порядка над Z10: 104=1000. В Z 10 обратимыми элементами являются 1, 3, 7 и 9. 1. ad=9. Возможно 4 случая. bc=8. Возможно 12 случаев. Получили с данным условием 48 обратимых матриц. 2. ad=8. Возможно 12 случаев. bc=7. Возможно 4 случая. Получили с данным условием 48 обратимых матриц. 3. ad=7. Возможно 4 случая. bc=6. Возможно 12 случаев. Получили с данным условием 48 обратимых матриц. 4. ad=6. Возможно 12 случаев. bc=5. Возможно 9 случаев. Получили с данным условием 108 обратимых матриц. 5. ad=5. Возможно 9 случаев. bc=4. Возможно 12 случаев. Получили с данным условием 108 обратимых матриц. 6. ad=4. Возможно 12 случаев. bc=3. Возможно 4 случая. Получили с данным условием 48 обратимых матриц. 7. ad=3. Возможно 4 случая. bc=2. Возможно 12 случаев. Получили с данным условием 48 обратимых матриц. 8. ad=2. Возможно 12 случаев. bc=1. Возможно 4 случая. Получили с данным условием 48 обратимых матриц. 9. ad=1. Возможно 4 случая. bc=0. Возможно 27 случаев. Получили с данным условием 108 обратимых матриц. 10. ad=0. Возможно 27 случаев. bc=9. Возможно 4 случая. Получили с данным условием 108 обратимых матриц. Таким образом, обратимых матриц, определитель которых Следовательно, из 10000 квадратных матриц второго порядка над Z10 обратимыми являются 2880.
Используя выше изложенный метод, было также вычислено количество обратимых матриц для колец вычетов по модулям:10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. В результате всех вычислений были получены следующие данные (ниже также использованы формулы полученные в §2):
В итоге анализа полученных результатов эмпирическим путем была получена следующая формула для вычисления количества обратимых матриц второго порядка над кольцом вычетов по произвольному модулю. Пусть Z n -кольцо вычетов по модулю n, причем n = p 1 k 1 p 2 k 2 … pmkm , Тогда количество обратимых матриц второго порядка равно:
(p1-1)2(p2-1)2…(pm-1)2p1p2…pm(p1+1)(p2+1)…(pm+1)(p14)k1-1(p24)k2-1…(pm4)km-1
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. 3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.
12
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (180)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |