Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.
12 Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа Обратимые матрицы над кольцом Zn
Выполнила: Студентка V курса Математического факультета Сычева О. Г. Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Вечтомов Е. М. Рецензент: к.ф.-м.н., доцент Чермных В. В.
Допущена к защите в ГАК Зав.кафедрой Вечтомов Е М. « » Декан факультета Варанкина В. И. « » Киров 2003 Содержание: Введение………………………………………….…………………….2 стр. §1 Основные понятия………………………………………………….3 стр. §2 Обратимые матрицы над полем Zp п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр. п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр. п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp ..16 стр. §3 Обратимые матрицы над Z n ………………………………………17 стр. Литература …………………………………………………………….27 стр. Введение Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры. Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов. Вся работа разбита на два этапа: В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Zp . В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n–го порядка над полем Zp . В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Z n .
Основные определения. Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P. Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность (или - размеров ). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме: . Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой. Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы. Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i = j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю. Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.: Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы. Две матрицы A=(aij) и B=(bij) одного и того же размера можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C=(ci j), , т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц. Произведение элемента c из поля на матрицу A=(aij) определяется следующим образом: cA =(caij). Для любой матрицы A существует противоположная - A такая, что Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле. Рассмотрим матрицу A=(aij) размером и матрицу B=(bij) размером (т.к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C =(cij) размером , где . Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами: По сложению: 1. (A + B)+ C = A +(B + C) – ассоциативность; 2. A + B = B + A – коммутативность; 3. Существует нейтральный элемент – матрица 0: A + 0 = 0 + A = A; 4. Для матрицы A существует обратный элемент - A : A + (- A)=0; По умножению матриц на скаляр: 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; По умножению матриц: 9. Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. AB ВА; 10. (AB)C = A(BC) – ассоциативность; 11. (cA)B = A(cB)= cAB; 12. Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая)(A 1 + A 2)B = A 1 B + A 2 B, A(B 1 + B 2)= AB 1 + AB 2; 13. Существует единственный нейтральный элемент E 14. Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц). Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо. Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n ! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку. , где (a 1 , a 2 , ..., a n) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n; множитель равен +1, если (a 1 , a 2 , ..., a n) - четная перестановка, и равен –1, если нечетная. Минором элемента aij называется определитель (n-1) – порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Минор aij элемента обозначается М ij . Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i + j . Алгебраическое дополнение элемента обозначается А ij =(-1)i + j × М ij. Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB = BA = E, Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы. Если матрица А имеет обратную, то она единственна. Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и С В, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию. Определитель произведения любых двух матриц n -го порядка равен произведению их определителей. Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n -го порядка: , , …, Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n-мерных столбцов) Тогда = ×1= × = = = = = = . Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Zn. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае. Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица. Покажем это. Пусть A=(aij) –невырожденная квадратная матрица ( ). Рассмотрим матрицу А*= , где Аij – алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце. Найдем произведение С=АА*, где С=(с ij) и т.д. Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму, Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А ( ) имеет обратную А*, тогда верными будут следующие равенства: А·А*=Е, , , . Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Zn называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Zn . §2 . Обратимые матрицы над полем Z p В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Zp, где p – простое. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2. Будем рассматривать матрицы . Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. . Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. . Нужно найти количество всех невырожденных матриц (1.1) Формулу выведем в 2 этапа. 1) Пусть (р-1 штук), (р-1 штук), (по р штук) (1.2). Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле (р-1)2р2 (1.3) Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , . В условии (1.2) не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково. а) (р-1 штук), и . Из (1.1) получаем равенство . Значит . При заданном (где =1,2…р-1) элемент однозначно выражается через и (количество невырожденных матриц – р-1). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук. б) , и . Значит . Отсюда . Элемент однозначно выражается через , , , которые принимаю не нулевые значения. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук Значит формула (1.3) при условии (1.2) верна. 2) Пусть . Тогда , а из (1.1) получаем что и (как в первом этапе, случае а). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле (р-1)2×р (1.4) Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц. Складывая формулы (1.3) и (1.4) полученные в этапах 1) и 2) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 2 над полем Zp (р-1)2×р×(р+1) (1.5)
12
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (199)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |