ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ

ФИЛЬТРЫ С ЗАДАННОЙ СТРУКТУРОЙ (ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ)

Оптимальной среди систем данного класса называют систему, для которой по­казатель ее качества имеет экстремальное значение (минимум или максимум в за­висимости от смысла показателя). Выбранный показатель качества называют, как говорилось выше, критерием оптимальности.

ФИЛЬТРЫ КОЛМОГОРОВА - ВИНЕРА

Основополагающие результаты по теории фильтрации были получены Н. Винером и А.Н. Колмогоровым (1941г.). Ими рассматривались только стационар­ные случайные процессы. В дальнейшем результаты были обобщены и на классы нестационарных процессов.

Перейдем к изложению основных положений теории фильтров Колмогорова-Винера. Рассмотрим линейную систему, представленную на рисунке

Заданы взаимно не коррелированные центрированные случайные процессы в виде функций времени m ( t ) и n ( t ) с корреляционными функциями

Требуется найти ИПФ фильтра, оптимальным образом выделяющего реализацию случайного процесса m ( t ) в виде некоторого процесса X ( t ) в условиях, когда на вход поступает аддитивная смесь полезного сигнала m ( t ) и помехи n ( t ).

Критерием оптимальности является минимум среднеквадратической ошибки (СКО)

Где                                 

Структурная схема, поясняющая постановку задачи фильтрации в классе линей­ных систем, представлена на рисунке 6.

Рис. 6. К постановке задачи фильтрации

Найдём уравнение, определяющее ИПФ оптимальной, в указанном выше смысле, системы. Положим, что при t = 0 фильтр имеет нулевые начальные условия; тогда сигнал ошибки определяется зависимостью

(1.6)

Полученное интегральное уравнение 1-го рода (1.17) определяет оптимальную ИПФ фильтра, обеспечивающего воспроизведение полезного сигнала m( t ) с мини­мальной СКО.

Уравнение (1.17) называется уравнением Винера - Хопфа, которое часто записы­вается в виде

                                                                                         (1.18)

Замечание:

Линейный фильтр является оптимальным для нормальных СП, если сигнал отличен от нормального, оптимальный фильтр следует находить в классе нелинейных систем.

ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ

Часто желательно иметь возможность оценивания состояния системы на основе данных, которые имеют лишь статистическую связь с этим состоянием и, следова­тельно, не обеспечивают его точного определения. Например, можно пытаться опре­делить положение или скорость находящегося в воздухе объекта по данным слеже­ния локатора, решить вопрос о виде принятого сигнала в линии связи, если известна совокупность возможных передаваемых сигналов. При этом, естественно, встает вопрос об оптимальности (наилучшей точности) полученных оценок. Для ли­нейных систем в качестве критерия оптимальности выступает минимальная средне­квадратичная ошибка оценивания (восстановления) вектора состояния. Обозначим оценку вектора состояния X в некоторый момент времени

на основе измере­ний вектора  на интервале  через  .В зависимости от того, какая задача оценивания решается, имеют место следующие задачи:

а) t₁ > t, тогда задача называется прогнозированием, или предсказанием;

б) t₁ = t, задача фильтрации (получение текущей оценки);

в) t₁ < t, задача сглаживания, или интерполяции.

В дальнейшем нас будет интересовать только задача фильтрации. Для вывода уравнений оптимального фильтра нам нужен вывод дисперсионного уравнения.

Для перехода к построению оптимального фильтра Калмана напомним постанов­ку и решение задачи оптимальной фильтрации в смысле Н. Винера.

Многомерная система определяется как система с i -входами и n-выходами, кото­рые связаны посредством матричной импульсной переходной функции (МИПФ). . Пусть - i-мерный вектор входа фильтра а «-мерный вектор выхо­да. Тогда связь между векторами и  определена интегралом

(7.49)

Пусть Y(f) - действительный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией . Обозначим норму произвольной квадратной матрицы В через ||В|| и определим ее следующим образом:

(7.50)

Где tr ( Z ) след, т.е. сумма диагональных элементов матрицы Z.

Пусть на вход многомерного фильтра поступает искаженный сигнал как сумма полезного сигнала М( t ) и помехи N( t ), т.е.

(1.51)

где М( t ) и N( t )- i-мерные векторы с известными корреляционными функциями и .

В зависимости от того, какая задача стоит: прогнозирования, фильтрации или сглаживания, определяется МИПФ идеальной системы. В задаче фильтрации , то есть . При такой постановке задачи минимум средне­квадратичной ошибки определяется МИПФ , получаемой из обобщенно­го уравнения Винера - Хопфа для многомерных систем.

(1.55)

Известно, что если на вход системы поступает случайный сигнал Y( t ), являющий­ся стационарным, в широком смысле, случайным процессом, оптимальную матрич­ную передаточную функцию  многомерного фильтра можно получить факто­ризацией рациональной матрицы спектральных плотностей. Р. Калман в своих работах модифицировал постановку задачи многомерной фильтрации Винера, придав ей форму проблемы пространства состоя­ния. В результате такой модификации был получен фильтр Калмана, осуществляю­щий процедуру рекурсивного оценивания, когда подлежащий оцениванию сигнал является выходным сигналом линейной нестационарной динамической системы.

Таким образом, структурная схема модели источника сообщений в виде формирующего фильтра и оптимального линейного фильтра, дающего несмещенную оценку с ми­нимальной среднеквадратичной ошибкой дисперсии , имеет следующий вид

Рассмотренный оптимальный фильтр и его уравнение были впервые получены Р Калманом и Р. Бьюси в 1961 году и носит название фильтра Калмана - Бьюси.