Определение доверительных интервалов

Обработка результатов прямых многократных измерений

Министерство образования и науки Российской Федерации

Волгоградский государственный технический университет

(ВолгГТУ)

Кафедра Технология машиностроения

Семестровая работа

по метрологии

Обработка результатов прямых многократных измерений

Выполнил: ст. гр. АУ – 323 Добриньков А. В.

Проверил: Карабань В. Г.

Волгоград 2010

Задание

1. Построить полигон, гистограмму и теоретическое распределение измеренных величин.

2. Проверить согласие теоретического и эмпирического распределений.

3. Определить доверительные интервалы.

4. Определить границы диапазона рассеивания значений и погрешностей.

Исходные данные

1. Построение эмпирического и теоретического распределений

При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов x_i), а по оси ординат – вероятность попадания в каждый i – тый интервал:

_.

Вычислим на каждом участке: (Σm_i = 378)

Номер интервала	Эмпирические частности	Середина интервала , мм
1	0,005291	19,98
2	0,005291	20,00
3	0,031746	20,02
4	0,066138	20,04
5	0,092593	20,06
6	0,164021	20,08
7	0,174603	20,10
8	0,203704	20,12
9	0,103175	20,14
10	0,07672	20,16
11	0,05291	20,18
12	0,018519	20,20
13	0,005291	20,22

Построим гистограмму и полигон по полученным значениям:

Для построения теоретического распределения необходимо определить приближённые значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения S.

Номер интервала	Частота	Середина интервала	mixi	mixi2	S
1	2	19,98	39,96	798,4008	0,043395663	20,10486772
2	2	20	40	800
3	12	20,02	240,24	4809,6048
4	25	20,04	501	10040,04
5	35	20,06	702,1	14084,126
6	62	20,08	1244,96	24998,7968
7	66	20,1	1326,6	26664,66
8	77	20,12	1549,24	31170,7088
9	39	20,14	785,46	15819,1644
10	29	20,16	584,64	11786,3424
11	20	20,18	403,6	8144,648
12	7	20,2	141,4	2856,28
13	2	20,22	40,44	817,6968
Σ	378		7599,64	152790,47

По виду гистограммы и полигона предполагаем нормальный закон распределения с функцией плотности

рассеивание погрешность гистограмма плотность

,

,

а вероятность попадания результата измерений в i-тый интервал величиной h = 0.02:

.

Номер интервала	Середина интервала
1	19,98	2,877424	0,006354	0,002928	0,005291
2	20,00	2,416549	0,02152	0,009918	0,005291
3	20,02	1,955673	0,058938	0,027163	0,031746
4	20,04	1,494797	0,13053	0,060158	0,066138
5	20,06	1,033922	0,233766	0,107737	0,092593
6	20,08	0,573046	0,338534	0,156022	0,164021
7	20,10	0,112171	0,39644	0,18271	0,174603
8	20,12	0,348705	0,37541	0,173017	0,203704
9	20,14	0,80958	0,287466	0,132486	0,103175
10	20,16	1,270456	0,178001	0,082036	0,07672
11	20,18	1,731331	0,089127	0,041076	0,05291
12	20,20	2,192207	0,036087	0,016632	0,018519
13	20,22	2,653083	0,011815	0,005445	0,005291

Построим теоретическое распределение результатов измерений

:

Проверка согласия эмпирического и теоретического распределений

Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции F(x_i). Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними D_N подставляют в выражение:

,

где – объём выборки. Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если .

Таблица

Номер интервала
1	0,002928	0,005291	0,002928	0,005291	0,002363
2	0,009918	0,005291	0,012846	0,010582	0,002264
3	0,027163	0,031746	0,040009	0,042328	0,002319
4	0,060158	0,066138	0,100168	0,108466	0,008298
5	0,107737	0,092593	0,207904	0,201058	0,006846
6	0,156022	0,164021	0,363927	0,365079	0,001153
7	0,182710	0,174603	0,546636	0,539683	0,006954
8	0,173017	0,203704	0,719653	0,743386	0,023733
9	0,132486	0,103175	0,852140	0,846561	0,005579
10	0,082036	0,076720	0,934176	0,923280	0,010895
11	0,041076	0,052910	0,975252	0,976190	0,000938
12	0,016632	0,018519	0,991884	0,994709	0,002825
13	0,005445	0,005291	0,997329	1,000000	0,002671

В нашем случае максимальное значение разности:

D_N = F’₈ – F₈ = 0,023733, N = ∑m_i = 378

Для l_N=0,4614 по таблице находим g = 0,01 Þ (1 – 0,01) = 0,99 > 0,1. Т. о. эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим.

Определение доверительных интервалов

Доверительный интервал для математического ожидания M определяется из выражения:

,

значение t_g возьмём из справочника, для g » 0,01 и N = 13: t_g = 3,06,

тогда 20,06804 мм < M < 20,14170 мм

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определим из выражения:

,

значения c₁² и c₂² определяем по справочнику, для g₁ » 0,01 , g₂ » 0,99 и N=13: c₁²=26,2; c₂²=3,57,

тогда 0,02937 мм < <0,07956 мм

4. Определение диапазона рассеивания значений

Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,027.

М » = 20,10486772 мм

S » = 0,043395663 мм

М-3 » 19.9747 мм

М+3 » 20.2351 мм

Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001.

М± σ

= 0,4995, Þ = 3,29

М-3,29 = 19,9621 мм

М+3,29 = 20,2476 мм