ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ

”Электроника и микропроцессорная техника”

 

Усилительные каскады на ОУ

 

Бутенко Д.В.

Созинов Б.Л.

Шарандин Е.А.

 

Кафедра РАДИОЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ И  УСТРОЙСТВА

______________________________________________________

Москва                                                                     2005 год

 

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

 

На базе операционных усилителей (ОУ) строятся инвертирующий и неинвертирующий усилительные каскады, схемы которых представлены на рис. 1. В обеих схемах ОУ охвачен цепью отрицательной обратной связи (ООС) по напряжению, состоящей из резисторов R1 и R2, поэтому на инвертирующий вход ОУ возвращается часть выходного напряжения - напряжение ООС U_оос, определяемое как падение напряжения на R1. В случае инвертирующего усилительного каскада (рис. 1, а) входное напряжение U_вх. и напряжение ООС U_оос суммируются на инвертирующем входе ОУ с помощью резистивного делителя R1-R2, т, е. ООС является параллельной. В неинвертирующем усилительном каскаде (рис. 1, б) используется последовательная ООС, так как дифференциальное входное напряжение U_вх.д ОУ является разностью между входным напряжением U_вх и напряжением обратной связи U_оос.

 

 

 

Рис. 1. Схема инвертирующего (а) и неинвертирующего (б) усилительного

каскада на ОУ

 

Коэффициент обратной связи b, который показывает, какая часть выходного напряжения U_вых. возвращается на вход ОУ, для обеих схем одинаков и равен

 

b=R1/(R1+R2).                                                                      (1)

 

В инвертирующем усилительном каскаде входное напряжение U_вх поступает на инвертирующий вход U_вх^- ОУ с коэффициентом деления m, равным

 

m=R2/(R1+R2).                                                                      (2)

 

Тогда, как следует из теории усиления с обратной связью, коэффициенты усиления инвертирующего К_и и неинвертирующего К_н усилительных каскадов равны

К_и=-(mК_оу)/(1+bК_оу)=    ,                             (3)

 

К_н = К_оу /(1+bК_оу) =    ,                     (4)

где К_оу =U_вых/U_вх.д – коэффициент усиления ОУ относительно входного дифференциального напряжения U_вх.д, причём U_вх.д = U_вх⁺ - U_вх^-. При использовании глубокой отрицательной обратной связи (bК_оу >>1) коэффициенты усилительных каскадов К_и и К_н не зависят от К_оу :  

 

К_и = -(R2/R1),                                                                         (5)

К_н =1+(R2/R1).                                                                       (6)

 

Для простейшего анализа схем на ОУ можно считать ОУ идеальным (К_оу®¥, r_вх®¥, r_вых®0, отсутствует сдвиг выходного напряжения). Отличие реального ОУ от идеального можно учесть с помощью его эквивалентной схемы, показанной на рис. 2.

 

 

Рис. 2. Эквивалентная схема интегрального ОУ:

r_вх – входное сопротивление для дифференциального сигнала, r_сф – входное сопротивление для синфазного сигнала, r_вых – выходное сопротивление ОУ, I_вх⁺ и I_вх^- - входные токи по инвертирующему и неинвертирующему входам, е_см – напряжение смещения нуля, приведённое ко входу, М_сф – коэффициент ослабления синфазного сигнала, К_оу – коэффициент усиления дифференциального напряжения ОУ

 

Так как современные интегральные ОУ имеют большой коэффициент усиления (К_оу ³10⁵), то при анализе схем усилительных каскадов принимают U_вх.д»0. В таком случае входное сопротивление инвертирующего усилительного каскада определяется как

 

R_вх.и=R1+r_вхçç(R2/(К_оу +1)),                                                  (7)

 

где r_вх – входное сопротивление ОУ для дифференциального сигнала. Так как на практике r_вх>>R2 и R2/(К_оу+1)<<R1, то входное сопротивление инвертирующего каскада фактически зависит только от резистора R1 цепи ООС: 

R_вх.и =R1.                                                                               (7а)

Входное сопротивление неинвертирующего усилительного каскада определяется тремя параллельно включенными сопротивлениями: внешним резистором R3, входным сопротивлением ОУ для синфазного сигнала r_сф и эквивалентным сопротивлением R_э:

 

R_вх.ни = R3 çç r_сф ççR_э,                                                             (8)

где

R_э » r_вх (1+bК_оу)                                                                    (9)

 

Из сравнения (7) и (8) следует, что входное сопротивление неинвертирующего усилителя может быть существенно выше, чем инвертирующего, что объясняется различным видом используемой ООС (параллельной и последовательной).

Выходные сопротивления R_вых инвертирующего и неинвертирующего усилителей одинаковы, так как в обеих схемах введена ООС по напряжению. При такой связи согласно теории ООС выходное сопротивление усилительного каскада определяются как

 

R_вых » r_вых /(1+bR_оу),                                                             (10)

 

где r_вых – выходное сопротивление ОУ, обычно равное 10…100 Ом.

Наличие входного напряжения смещения е_см , а также входных токов ОУ I_вх⁺ и I_вх^- приводит к тому, что выходное напряжение каскада на ОУ смещается относительно нуля на величину DU_вых, которая равна

 

DU_вых =[(R1+R2)/R1][e_см + I_вх⁺R3 - I_вх^- R1R2/(R1+R2)] .    (11)

 

Для компенсации действия входных токов ОУ в усилительные каскады вводят резистор R3. Если I_вх⁺= I_вх^-, то минимальная величина DU_вых достигается при сопротивлении R3, равном

 

R3=R1ççR2=R1R2/(R1+R2) .                                                (12)

 

Однако у реальных ОУ I_вх⁺¹I_вх^-, а их отличие характеризуют разностным входным током DI_вх= I_вх⁺- I_вх^-. Поэтому при выборе R3 согласно (12) смещение выходного напряжения DU_вых уменьшается до величины

 

DU_вых =[(R1+R2)/R1][e_см+DI_вх R1R2/(R1+R2)] .                  (13)

 

Для дальнейшего уменьшения DU_вых может быть использован дополнительный подстроечный резистор, способ подключения и номинал которого указывается в справочных данных на ОУ.

Работа усилительного каскада на ОУ при усилении постоянного напряжения может быть оценена с помощью его передаточной характеристики – зависимости выходного напряжения от входного, измеряемой на постоянном токе. Как показано на рис. 3, в диапазоне выходных напряжений + U_{вых.макс} эта характеристика линейна, причем угол её наклона определяется коэффициентом усиления каскада К_и или К_н. Как правило, U_{вых.макс} меньше напряжения питания ОУ на 1…3 В. Отметим, что передаточная характеристика проходит не через начало координат (как для каскада на идеальном ОУ), а через точку с координатами (0, DU_вых).

 

 

Рис. 3. Передаточная характеристика усилителя на ОУ

 

При усилении переменного напряжения работа усилителя может быть оценена по виду его амплитудной характеристики (АХ) - зависимости амплитуды первой гармоники выходного напряжения U_m1.вых от амплитуды U_m.вх входного напряжения гармонической формы. Выделяя на АХ линейный участок, можно найти диапазоны амплитуд входного или выходного напряжения, соответствующие линейному режиму усиления. Можно снимать АХ приближённо, измеряя амплитуду выходного напряжения U_m.вых вместо амплитуды его 1-й гармоники.

При превышении величиной U_m.вх некоторого предела линейный режим усиления нарушается и начинают проявляться нелинейные искажения выходного напряжения, характер которых зависит от частоты сигнала и параметров ОУ. На сравнительно низких частотах (до единиц кГц) нелинейные искажения обусловлены переходом транзисторов ОУ в ключевой режим и проявляются как ограничение (отсечка) выходного напряжения на уровне U_{вых.макс}, как показано на рис. 4, а. В этом случае АХ практически повторяет передаточную характеристику, но выходит из начала координат (рис. 4, б), причём АХ линейна, пока амплитуда выходного напряжения не сравнивается с U_{вых.макс}. Если в усилительном каскаде имеется смещение выходного напряжения DU_вых, то отсечка выходного напряжения «сверху» и «снизу» наступает при различных значениях амплитуды входного напряжения. Высокая линейность АХ на низких частотах вплоть до ограничения выходного напряжения на уровне U_{вых.макс} объясняется линеаризирующим действием ООС.

 

 

Рис. 4. Возникновение нелинейных искажений, обусловленных насыщением ОУ (а); амплитудные характеристики каскада на ОУ при низкой частоте входного сигнала (б)

На высоких частотах входного сигнала нарушение линейности АХ усилительного каскада связано с динамическими параметрами ОУ и прежде всего с его максимальной скоростью изменения выходного напряжения V_макс. В этом случае при увеличении U_m.вх режим работы усилителя остается линейным, пока амплитуда выходного напряжения не станет равной U_{m.вых.макс}, определяемой величиной V_макс и частотой входного сигнала f:

 

U_{m.вых.макс} = V_макс /2pf                                                           (14)

 

При дальнейшем увеличении U_m.вх форма выходного напряжения постепенно трансформируется из синусоидальной в треугольную, рост амплитуды выходного напряжения замедляется и затем прекращается на уровне меньшем U_{вых.макс} (рис. 5, а), что и определяет вид нелинейного участка АХ (рис. 5, б).

 

 

 

Рис. 5. Возникновение нелинейных искажений, обусловленных ограниченной величиной V_макс ОУ (а); амплитудные характеристики каскада на ОУ при высокой частоте входного сигнала (б)

 

Таким образом, амплитудная характеристика усилительного каскада на ОУ линейна до тех пор, пока амплитуда выходного напряжения не достигает максимального уровня U_{m.вых.макс}. Этот уровень определяется либо эффектами насыщения ОУ, если частота усиливаемого сигнала невелика, либо максимальной скоростью изменения выходного напряжения ОУ. Вид зависимости максимальной амплитуды выходного напряжения U_{m.вых.макс} усилительного каскада на ОУ от частоты f сигнала с учетом (14) представлен на рис. 6.

 

 

Рис. 6. Зависимость максимальной амплитуды выходного напряжения усилительного каскада на ОУ от частоты сигнала

 

Выходное напряжение усилительного каскада получает искажения и при линейном режиме усиления, если спектр частот входного напряжения шире полосы усиления каскада. Частотная зависимость коэффициента усиления усилительного каскада на ОУ с резистивными цепями ООС определяется частотной характеристикой ОУ. Для ОУ с внутренней частотной коррекцией зависимость коэффициента усиления К_оу от частоты f сигнала определяется соотношением

 

К_оу(f)=К_оу(0)/(1+j2pft_оу),                                                    (15)

 

где К_оу(0) – коэффициент усиления ОУ по постоянному току, t_оу – постоянная времени ОУ, связанная с частотой единичного усиления f₁ соотношением

 

t_оу = К_оу(0) / 2pf₁.                                                               (16)

 

Поэтому частотная зависимость коэффициента усиления усилительных каскадов на ОУ с резистивной цепью ООС определяется как

 

К_и,н(f)=K_и,н(0)/(1+ j2pft_в),                                                      (17)

 

где K_и,н(0) – коэффициенты усиления инвертирующего или неинвертирующего усилительных каскадов по постоянному току, определяемые соотношениями (5) или (6), t_в – эквивалентная постоянная времени усилительного каскада в области верхних частот, равная

 

t_в =t_оу /(1+ bК_оу)=K_и,н / 2pf₁ .                                           (18)

 

Для оценки частотных искажений усилителя используется его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – зависимость модуля коэффициента усиления усилителя от частоты. АЧХ измеряется при работе усилителя в режиме малого сигнала для исключения нелинейных искажений. С учетом (17) АЧХ каскада на ОУ с резистивной цепью ООС определяется как

,                         (19)

где f_в=1/2pt_в – верхняя граничная частота полосы усиления каскада, определяемая как частота, на которой при увеличении частоты входного сигнала модуль коэффициента усиления падает в Ö2 раз по отношению к своей максимальной величине, т. е. к K(0). Из (18) следует, что f_в определяется частотой единичного усиления ОУ f₁ и коэффициентом усиления каскада по постоянному току K(0):

 

f_в = f₁/ K(0) .                                                                    (20)

 

Отсюда следует, что площадь усиления каскада постоянна и не зависит от коэффициента усиления:

 

f_вK(0)= f₁=соnst.                                                              (21)

 

На практике часто используют логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ), при построении которых по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат – модуль коэффициента усиления в децибеллах:

 

[дБ] = 20lg                                                     (22)

 

ЛАЧХ удобны для аппроксимации отрезками прямых линий с наклоном, кратным +20 дБ на декаду. Для усилителя на ОУ с внутренней частотной коррекцией ЛАЧХ аппроксимируется двумя прямыми линиями: горизонтальной в диапазоне частот 0…f_в и с наклоном –20 дБ/дек. в области спада на верхних частотах (f>f_в). При этом точка излома аппроксимированной ЛАЧХ (полюс ЛАЧХ) соответствует частоте f_в, на которой коэффициент усиления уменьшается на 3 дБ по сравнению с его значением в области низких и средних частот. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс соответствует частоте f₁. Типичные ЛАЧХ усилительных каскадов на ОУ с различными коэффициентами усиления показаны на рис. 7.

 

 

Рис. 7. ЛАЧХ усилительного каскада на ОУ

Для уменьшения верхней граничной частоты полосы усиления резистор R2 шунтируют конденсатором С2 (рис. 8, а). В этом случае частотная зависимость коэффициента усиления каскада на ОУ определяется как

 

К_и,н(f)=K_и,н(0)/[1+ j2pf(t_в+t₂)],                                        (23)

 

где t₂=R2C2 – постоянная времени цепи ООС. При этом верхняя граничная частота полосы усиления усилительного каскада равна

 

f_в=1/2pf(t_в+t₂).                                                                    (24)

 

                                                             

Рис. 8. Схема инвертирующего (а) и неинвертирующего (б) усилительных каскадов переменного напряжения на ОУ

 

Часто при усилении сигналов бывает необходимо исключить их постоянную составляющую. В таких случаях во входную цепь включается разделительный конденсатор С_р (см. рис. 8, б). Такой конденсатор совместно с входным сопротивлением каскада образует фильтр верхних частот, поэтому коэффициент усиления каскада на ОУ в области нижних частот уменьшается и представляется функцией

 

К_и,н(f)=K_и,н(0)/(1+1/j2pft_н),                                                 (25)

 

где t_н – постоянная времени усилительного каскада на ОУ в области нижних частот. Для инвертирующего усилительного каскада (рис. 8,а) t_н определяется как

 

t_н.и =С_р R_вх.и »С_рR1,                                                           (26)

 

а для неинвертирующего каскада (рис. 8, б) как

 

t_н.н =С_р R_вх.н »С_рR3.                                                            (27)

 

Таким образом, в области нижних частот АЧХ усилителя на ОУ с разделительным конденсатором во входной цепи может быть описана следующим образом:

 

,                       (28)

 

где f_н=1/2pt_н - нижняя граничная частота полосы усиления каскада, определяемая как частота, на которой модуль коэффициента усиления при понижении частоты уменьшается в Ö2 раз (т. е. на 3 дБ) относительно максимального значения, обычно совпадающего по величине с K(0). На ЛАЧХ таких каскадов появляется ещё один полюс на частоте f_н, а спад ЛАЧХ в области нижних частот аппроксимируется прямой линией с наклоном 20 дБ/дек. В области верхних частот АЧХ описывается формулой (19). С учетом (17), (19), (25) и (28) можно получить выражение для частотной зависимости коэффициента усиления и АЧХ во всём диапазоне рабочих частот:

 

,                                      (29)

 

       (30) 

   

 Пример ЛАЧХ таких каскадов приведён на рис. 9.

 

 

Рис. 9. ЛАЧХ усилительного каскада на ОУ с коэффициентом усиления K_u=10 (20 дБ) для различных С_р

 

Усилительные каскады на ОУ могут быть использованы и для усиления импульсных сигналов. Помимо усиления в таких усилителях имеет место искажение формы усиливаемого импульса.

При работе в линейном режиме искажения выходного импульса усилителя определяются видом переходной характеристики (ПХ) усилителя – зависимости выходного напряжения усилителя от времени при подаче на его вход единичного перепада напряжения, пронормированной по максимальной величине коэффициента усиления. Как правило, для анализа таких искажений используется операторный метод. Пусть входной сигнал представляет собой перепад напряжения величиной U_mвх.:

 

            
    

изображение которого по Лапласу определяется как

 

u_вх(t)¸U_вх(p)=U_mвх/p.                                                          (31)

 

Тогда изображение выходного напряжения записывается как U_вых.(p)=U_вх.(p)K(p)=K(p)/p, где K(p) – передаточная или системная функция усилителя, получаемая из зависимости коэффициента усиления от частоты заменой jw (или j2pf) на оператор Лапласа p. Учитывая (29), имеем

     ,

       .                                                 (32)

 

Оригиналом U_вых.(p) является временная зависимость выходного напряжения усилителя:

 

u_вых(t)=K(0)U_mвх[exp(-t/t_н) - exp(-t/t_в)]= K(0)U_mвх h(t),    (33)

 

где h(t)= exp(-t/t_н) - exp(-t/t_в) – ПХ усилителя.

Усиление прямоугольного импульса показано на рис. 10. Входной прямоугольный импульс амплитудой U_mвх и длительностью t_и представлен в виде суммы двух разнополярных перепадов напряжения величиной U_mвх, сдвинутых во времени на t_и (рис. 10, а-б). Поэтому выходное напряжение определяется как

 

 u_вых(t) = K(0)U_mвх [h(t) - h(t-t_и)].

 

Искажения выходного импульса (см. рис. 10, г) принято оценивать по времени фронта t_ф и относительному спаду вершины d=D/U_mвых, где D - абсолютная величина спада вершины выходного импульса.

Для нахождения t_ф и d необходимо рассмотреть поведение ПХ на интервале времени 0 - t_и. Обычно в усилителях импульсных сигналов t_н и t_в различаются более чем на 2-3 порядка (t_н>>t_в), поэтому интервал времени 0 - t_и разбивается на две области:

1) t<<t_н - «область малых времен»;

2) t>>t_в - «область больших времен».

 

 

Рис. 10. Усиление импульсного сигнала:

а) входной сигнал; б) представление входного сигнала как суммы двух перепадов напряжения; в) реакция усилителя на перепады входного напряжения; г) выходной импульсный сигнал

 

Для «области малых времен» выражение (33) может быть упрощено и приведено к виду

 

u_вых.МВ(t)=K(0)U_mвх[1 - exp(-t/t_в)]= K(0)U_mвх h_МВ(t) ,    (34)

 

где h_МВ(t) = 1 - exp(-t/t_в) – ПХ усилителя в «области малых времен» (рис. 11, а).

 

Рис. 11. Переходная характеристика для области «малых» (а) и «больших» (б) времен; итоговая переходная характеристика (в)

 

При выполнении условия t_н>>t_в формула (32) приближенно описывает формирование фронта выходного импульса усилителя. Время фронта t_ф определяется как время нарастания u_вых(t) от 0,1 U_mвых до 0,9 U_mвых. Можно показать, что

 

           t_ф » 2,2t_в= 2,2/2pf_в » 0,35/ f_в                         (35)

 

Изображение u_вых.МВ(t) при замене p на jw превращается в частотную зависимость коэффициента усиления в области ВЧ:

 

      u_вых.МВ(t) ¸ K(0)/(1+pt_в) ® K(0)/(1+ jwt_в) = K_ВЧ(jw).

 

Таким образом, ПХ в «области малых времен» и АЧХ в области верхних частот однозначно связаны друг с другом, т. е. элементы схемы, определяющие значение f_в, определяют также и t_ф.

Для «области больших времен» выражение (31) может быть приведено к виду

 

u_вых.БВ(t)=K(0)U_mвхexp(-t/t_н)= K(0)U_mвх h_БВ(t) ,       (36)

 

где h_БВ(t)=exp(-t/t_н) – ПХ усилителя в «области больших времен» (рис. 11, б). При выполнении условия t_н>>t_в выражение (36) приближенно описывает формирование спада вершины выходного импульса усилителя. Из (34) может быть получено выражение для определения относительного спада вершины выходного импульса d. В момент времени t=t_и выходное напряжение уменьшается на величину

 

  D= U_mвых - u_вых.БВ(t_и)=K(0)U_mвх[1-exp(-t_и/t_н)].               (37)

 

Разделив (37) на K(0)U_mвх, имеем

 

            d = 1 - exp(-t_и/t_н),                                              (38)

 

т. е. величина  относительного спада вершины определяется соотношением длительности импульса и постоянной времени каскада в области нижних частот. При выполнении условия t_н>>t_и спад вершины выходного импульса становится практически незаметным.

При замене p на jw изображение u_вых.БВ(t) превращается в частотную зависимость коэффициента усиления в области НЧ:

 

u_вых.БВ(t) ¸ K(0) pt_н /(1+pt_н) ® K(0) jwt_н /(1+ jwt_н) = K_НЧ(jw).

 

Таким образом, ПХ в «области больших времен» связана с АЧХ усилителя в области НЧ, т. е. величины d и f_н определяются одними и теми же элементами схемы усилителя. Итоговая ПХ показана на рис. 11, в.

При работе импульсного усилителя на ОУ в режиме большого сигнала искажения выходного импульса возникают либо из-за ограничения выходного напряжения на уровне U_{вых.макс.}, либо из-за ограничения скорости нарастания выходного напряжения._. Последний эффект рассмотрим более подробно. Скорость изменения выходного напряжения усилителя при формировании фронта импульса определяется как производная по времени от выражения (34). При t=0, т. е. в начале фронта, она будет максимальна и равна

_t=0 =K(0)U_mвх./t_в = U_mвх. 2pf₁ .                     (39)

С ростом U_mвх. скорость изменения выходного напряжения V_u увеличивается, достигая значения V_макс при U_mвх.= . Линейный режим усиления сохраняется при выполнении условия

 

U_mвх.< =V_макс./2pf₁.                                                   (40)

 

При дальнейшем увеличении U_mвх. скорость изменения выходного напряжения остается неизменной и равной V_макс. Поэтому фронт выходного импульса постепенно линеаризируется, а его длительность растёт (рис. 12). На осциллограмме выходного импульса такие искажения становятся заметными при U_mвх.= (3…5) .

 

Рис. 12. Искажения фронта выходного импульса, обусловленные конечной скоростью нарастания выходного напряжения ОУ

 

Таким образом, при U_mвх.<  фронт выходного импульса определяется видом ПХ в «области малых времен» (т. е. величиной t_в), а при U_mвх.>(3…5)  - ограниченной скоростью нарастания выходного напряжения ОУ.