Практическая часть (задачи)

Задача 1.

Осевое сечение цилиндра − квадрат, площадь которого Q.

Найдите площадь основания цилиндра.

Дано: цилиндр, квадрат − осевое сечение цилиндра, S_{квадрата} = Q.

Найти: S_{осн.цил.}

Решение:

 

Сторона квадрата равна . Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна .

Ответ: S_{осн.цил.} =

 

Задача 2.

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Дано: цилиндр, правильная шестиугольная призма вписанная в цилиндр, радиус основания = высоте цилиндра.

Найти: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра.

Решение: Боковые грани призмы − квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу.

 

Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А это угол равен 45°, так как грани − квадраты.

Ответ: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра = 45°.

 

Задача 3.

Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см.

Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.

Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.

Найти: S_сеч.

 

Решение:

S_сеч.= КМ×КС,

ОЕ = 4 см, КС = 6 см.

Треугольник ОКМ − равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),

треугольник ОЕК − прямоугольный.

Из треугольника ОЕК, по теореме Пифагора:

ЕК = ,

КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,

S_сеч.= 6×6 = 36 см².

Ответ: S_сеч.= 36 см².

 

Задача 4.

Высота цилиндра 12см, радиус основания 10см.

Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат.

Найдите расстояние от этого сечения до оси.

Дано: СК = h = 12см, R = ОК = ОМ = 10см.

Найти: ОЕ.

	М

 

 

 

В

 

	С

 

Решение:

СК равна высоте, то есть СК = 12 см. Так как в сечении получился квадрат, то КМ = СК = 12см.

ОК − радиус основания, ОК = 10см.

Треугольник ОКЕ – прямоугольный, где ОК = 10см, КЕ = 6см.

По теореме Пифагора:

ОЕ =

Ответ: ОЕ = 8см.

 

Задача 5.

В цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все его вершины лежат на окружностях основания. Найдите сторону квадрата, если высота цилиндра равна 2см, а радиус основания равен 7см.

Дано: цилиндр, h = 2см, R – 7см, АВСD − наклонно вписанный квадрат.

В

Найти: АВ.

	А

В1

D1

А1

С

	D

 

Решение:

Достроим квадрат АВСD до прямого прямоугольного параллелограмма АВС₁D₁А₁В₁СD с диагональным сечением АВСD.

Угол АВС₁ = 90°. Так как вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проходившими в эти точки, или дополняет половину этого угла до 180°, то АС₁  есть диаметр окружности верхнего основания цилиндра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник СС₁А₁ − катет СС₁, есть образующая цилиндра и СС₁ = 2АС, катет АС₁ есть диаметр цилиндра и АС₁ = 14. По теореме Пифагора АС = (см).

Из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС по теореме Пифагора сторона квадрата АВ = см.

Ответ: АВ = 10 см.

Задача 6.

Объем цилиндра 120 см², его высота 3,6 см.

Найти радиус цилиндра.

Дано: V = 120 см², h = 3,6 см.

Найти: r

r

h

Решение:

Ответ: r = 3,3.

 

Задача 7.

Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см.

 Найдите площадь поверхности цилиндра.

Дано: цилиндр, АВСD − осевое сечение, АВ = АD, ВD = см.

Найти: S_{пов.цил.}

С

В

D

А

Решение:

Из прямоугольного ∆ АВD по теореме Пифагора: ВD² − 2AB², откуда сторона квадрата АВ (см). Поэтому высота цилиндра АВ = 3 см, радиус цилиндра ОА − 1,5 см.

Площадь боковой поверхности S_бок.ц = 2πRH = 2π×1,5×3 = 9π (см²).

Площадь основания S_осн. = 2πR² = 2π×1,5² = 4,5π (см²).

Площадь полной поверхности S_{пов.цил.} = S_бок.ц + S_осн. = 9π + 4,5π = 13,5 π (см²).

Ответ: 13,5 π (см²).

Задача 8.

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма.

Найдите отношения объема призмы к объему цилиндра.

Дано: цилиндр, правильная шестиугольная призма вписана в цилиндр, а − сторона призмы.

Найти: .

а

а

Решение:

=

а₆ = R

Ответ: = .

Задача 9.

Диаметр основания цилиндра 1м.

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Дано: цилиндр, d = АВ = 1м.

Найти: S_бок.ц.

	d

 

 

 

 

Решение:

S_бок. = 2πRh,

R = = 0,5 м,

S_бок. = 2πR × 2πR = (2πR)² = 4π² ×0,25 = π²

Ответ: S_бок. = π² (м²).

 

Задача 10.

Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.

Дано: конус, цилиндр – вписан в конус, ОВ – радиус конуса, ОВ = 3.

Найти: r − радиус основания цилиндра.

Решение:

Обозначим через h и r высоту и радиус основания цилиндра, вписанного в конус с вершиной A. Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник ABC с высотой AO = H и основанием BC = 2· 3 = 6 (рис.2). Плоскость ABC пересекает цилиндр, вписанный в конус, по его осевому сечению – прямоугольнику KLMN, где точки K и L лежат соответственно на отрезках AB и AC, а точки M и N – на отрезке BC , причём KL = 2r , KN = LM = h . Пусть P – точка пересечения AO и KL . Треугольник APL подобен треугольнику AOC , поэтому

, или

откуда  . Пусть V(r) – объем цилиндра, где 0 < r < 3 . Тогда

.

Найдем наибольшее значение функции V(r) на промежутке (0;3) .

 

V'(r) =  H(2r - r²) =  Hr(2 - r).

 Промежутку (0;3) принадлежит единственный корень ( r = 2 ) полученного уравнения. Если 0 < r < 2 , то V'(r) > 0 . Поэтому на промежутке (0;2) функция V(r) возрастает. Если 2 < r < 3 , то V'(r) < 0 . Поэтому на промежутке (2;3) функция V(r) убывает. Значит, в точке r = 2 функция V(r) имеет максимум. Следовательно, радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в данный конус, равен 2.

Ответ: r = 2.

 

Задача 11.

Развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной . Найдите объем цилиндра.

Дано: Цилиндр, квадрат – развертка боковой поверхности цилиндра, сторона квадрата = .

Найти: V_цил.

r

Решение:

Пусть образующая цилиндра АD = h , а радиус основания равен r, объем цилиндра равен V . Поскольку развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной  длина окружности основания и образующая цилиндра также равны , т.е.

.

Следовательно, .

Ответ: V = 2.

Задача 12.

Радиус основания цилиндра равен r . Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра, не пересекает его оснований и образует угол α с плоскостью основания. Найдите площадь сечения цилиндра этой плоскостью.

Дано: цилиндр, r – радиус основания цилиндра, угол α.

Найти: S_сеч.ц.

α   r

Основание цилиндра есть ортогональная проекция данного сечения на плоскость основания. Следовательно, площадь сечения равна площади основания, делённой на косинус угла между плоскостями сечения и основания, т.е. .

Ответ:

Заключение

 

Цель данного реферата выполнена, рассмотрено такое геометрическое тело, как цилиндр.

Рассмотрены следующие задачи:

− дано определение цилиндра;

− рассмотрены элементы цилиндра;

− изучены свойства цилиндра;

− рассмотрены виды сечения цилиндра;

− выведена формула площади цилиндра;

− выведена формула объема цилиндра;

− решены задачи с использованием цилиндра.

Список литературы

 

1. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений, 1995.

2. Бескин Л.Н. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы, 1999.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Э. Г. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений, 2000.

4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 1998.

5. Киселев А. П., Рыбкин Н. А. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник, 2000.