III . Отношение площадей
12 Рассмотрим треугольник ABC и выберем на стороне AC точку M. Если провести в треугольнике ABC высоту BH, то эта высота одновременно будет и высотой в треугольнике ABM (рис. 10). Записывая площади треугольников ABC и ABM, получаем
, , и . Следовательно, зная площадь треугольника ABC и отношение , можно очень быстро вычислить площадь треугольника AMC .
Заметим, что найденная закономерность сохраняется и в том случае, когда точка M находится на продолжении стороны AC. Снова рассмотрим треугольник ABC, и на сторонах AC и AB, либо на продолжениях этих сторон, выберем соответственно точки M и K (рис. 11).
Используя найденную закономерность получаем, что и . Отсюда . Пример 8. В треугольнике ABC точки M на стороне AB и K на стороне BC расположены так, что , . Отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Найти площадь четырехугольника PMBK, если площадь треугольника ABC равна 12. Решение. Сначала вычислим отношение , для чего проведем (рис. 12). Так как , то , а из того, что , , получаем , откуда и . Теперь переходим к вычислению площадей. Так как , то . Далее,
. Поэтому . Рассмотренную закономерность можно обобщить следующим образом: если для треугольников ABC и EFG известны отношения двух сторон и отношение соответствующих высот, то .
Пример 9. В трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. На боковых сторонах AB и CD поставлены точки K и L соответственно так, что . Найти отношение площадей AKLD и KBCL. Решение. Обозначим площадь треугольника ABC через P. Так как высоты треугольников ABC и ADC равны и , то , и площадь трапеции равна 4P. Далее, треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и равные высоты,
поэтому . Так как , то . Аналогично, . Следовательно, . Так как , то . Поэтому . После этого получаем и . В качестве еще одного примера на применение рассмотренных свойств разберем одну известную олимпиадную задачу.
Пример 10. На продолжениях сторон AB , BC , CD , DA четырехугольника ABCD соответственно строятся точки M , N , K , L так, что , , , . Доказать, что площадь четырехугольника MNKL в пять раз больше площади четырехугольника ABCD. Решение. Сделаем чертеж (рис. 14) и постараемся понять, какие связанные с чертежом задачи мы умеем решать.
И такие задачи находятся. Например, если знать площадь треугольника ABC, то мы можем сначала найти площадь треугольника BMC , а затем и площадь треугольника BMN. Когда это удалось отыскать, то дальнейшее уже не так сложно и приводит к следующему решению. , аналогично , , , откуда .
12
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (160)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |