ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задача 1. Ступенчатый стальной стержень, имеющий продольные размеры ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃ и площади поперечных сечений А₁, А₂, А₃, нагружен по оси продольными силами F.

Требуется:

1) определить продольные усилия, нормальные напряжения и перемещения в поперечных сечениях стержня под действием внешних сил F, установить опасное сечение и проверить прочность из условия, что расчетное сопротивление R = 210 МПа;

2) построить эпюры продольных усилий, нормальных напряжений и перемещений в поперечных сечениях стержня под действием внешних сил F;

3) определить продольные усилия, нормальные напряжения и перемещения в сечениях стержня под влиянием изменения температуры без учета внешних сил F и построить эпюры.

Числовые значения для решения задачи 1 принять по табл.1, а расчетную схему – по рис.1.

Перед тем как приступить к решению задачи, необходимо изучить разделы «Общие понятия» и «Растяжение и сжатие».

Решение задач следует начать с проверки возможности перекрытия зазора D в одной из заделок стержня под действием системы сил F. Для этого отбрасывается одна опора и находится удлинение стержня Dℓ как статически определимого. Если удлинение Dℓ меньше зазора D, стержень решается как статически определимый. В противном случае одностержневая система является статически неопределимой. Для раскрытия статической неопределимости следует отбросить одну заделку, заменив ее неизвестной опорной реакцией. Значение этой реакции определяется путем составления уравнения совместности деформаций и решения его. Аналогично находится и вторая неизвестная реакция. Для проверки правильности определения реакций составляется уравнение статики.

Внутренние усилия определяются с использованием метода сечений. Эпюры вычерчиваются против расчетной схемы карандашом. При этом растягивающие усилия положительны (+) и откладываются справа от базовой линии эпюры, а сжимающие – отрицательны (–) и откладываются слева.

Примеры решения задачи приведены в [2, c.73…84] и [8,с.9…32].

 

Рис. 1. Расчетные схемы к задаче 1.

Т а б л и ц а 1. Числовые данные к задаче 1.

Номер строки	Номер схемы	F1, кН	F2, кН	A1	A2	A3	ℓ1	ℓ2	ℓ3	Dt	D
				см2			м			ºС	мм
1	0	160	50	4	8	6	0,40	0,80	0,50	55	0,11
2	1	200	70	5	9	4	0,45	0,75	0,70	64	0,12
3	2	190	90	6	10	7	0,50	0,70	0,30	72	0,13
4	3	150	140	7	11	8	0,42	0,76	0,80	49	0,14
5	4	140	170	8	12	16	0,52	0,74	0,60	61	0,15
6	5	130	160	9	13	12	0,78	0,90	0,42	68	0,16
7	6	60	220	10	7	13	0,30	0,85	0,48	75	0,17
8	7	90	240	11	6	11	0,60	0,68	0,72	53	0,18
9	8	80	210	12	5	9	0,62	0,54	0,64	63	0,19
0	9	70	230	13	4	5	0,64	0,40	0,62	70	0,10
ххх	в	б	а	а	б	а	в	б	а	в	в

Задача 2. Элементарный параллелепипед, вырезанный из упругого тела, находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю).

Требуется:

1) определить главные напряжения и направления главных площадок;

2) найти максимальные касательные напряжения;

3) определить относительные деформации и относительное изменение объема;

4) установить удельную потенциальную энергию деформаций.

Числовые значения для решения задачи 2 принять по табл.2, а расчетную схему – по рис. 2.

 

Т а б л и ц а 2. Числовые данные к задаче 2.

Номер строки	Номер схемы	sх, МПа	sу, МПа	tху, МПа	Модуль Е, МПа	Коэффициент Пуассона, h
1	0	90	50	10	1,0×105	0,16
2	1	80	60	20	1,2×105	0,18
3	2	70	70	30	1,3×105	0,20
4	3	60	80	40	1,4×105	0,22
5	4	50	90	50	1,5×105	0,24
6	5	40	100	60	1,6×105	0,25
7	6	30	40	70	1,7×105	0,26
8	7	20	30	60	1,8×105	0,27
9	8	100	20	50	1,9×105	0,28
0	9	10	110	40	2,0×105	0,30
ххх	в	б	а	в	б	а

 

Рис. 2. Расчетные схемы к задаче 2.

Перед тем как приступить к решению задачи, необходимо изучить раздел «Теория напряженного и деформированного состояний». Решение задачи следует начать с установления знаков исходных напряжений. Правило знаков для этих напряжений принимается следующим: растягивающие нормальные напряжения считаются положительными, сжимающие – отрицательными. Касательные напряжения положительны, если обход контура по их направлению происходит по часовой стрелке, если наоборот – отрицательные.

Примеры решения задачи приведены в [2, с.114…118] и [8, c.44…55].

Задача 3. Дано составное сечение из стальных прокатных профилей по ГОСТ 8509–72, ГОСТ 8510–72, ГОСТ 8239 –72, ГОСТ 8240–72, форма которого приведена на рис. 3.

 

Требуется:

1) определить координаты центра тяжести;

2) вычислить осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей;

3)  определить положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции;

4) найти главные радиусы инерции и построить эллипс инерции.

Числовые значения для решения задачи 3 принять по табл.3, а расчетную схему – по рис. 3.

 

Т а б л и ц а 3. Числовые данные к задаче 3.

Номер строки	Номер схемы	Двутавр	Швеллер	Уголок равнопо- лочный	Уголок неравно- полочный	Пластина, b x h, см
1	2	3	4	5	6	7
1	0	24а	16	10	10/6,3	16х2
2	1	24	18а	11	11/7	18х2
3	2	22а	20	12.5	12.5/8	20х2
4	3	20	16а	14	16/10	16х2
5	4	18а	18а	18	9/5,6	18х2
6	5	20а	20а	16	14/9	20х2
7	6	22	24	20	18/11	16х2
8	7	18	24а	25	11/7	18х2
9	8	27	27	22	16/10	20х2
0	9	27а	22	20	20/12.5	16х2
ххх	в	б	а	в	б	а

 

Рис. 3. Расчетные схемы к задаче 3.

Перед тем, как приступить к решению задачи, необходимо изучить раздел «Геометрические характеристики поперечных сечений».

Решение задачи следует начать с выбора из сортамента прокатных профилей всех размеров и геометрических характеристик отдельных элементов составного сечения. Составное сечение следует вычертить в масштабе на миллиметровой бумаге с указанием всех размеров и положений собственных центральных осей элементов сечения. Далее следует выбрать первоначальную систему координат. Во избежание ошибок рекомендуется систему координат выбирать таким образом, чтобы все составное сечение находилось в положительном квадранте. После этого следует определить координаты центра тяжести составного сечения. При этом центр тяжести составного сечения должен быть расположен на прямой, соединяющей центры тяжести составных элементов. Затем вычисляются моменты инерции составного сечения, определяется положение главных центральных осей.

Положение главной центральной оси U, относительно которой момент инерции максимален (I_u = I_max), можно определить двумя способами.

1. При I_ху < 0 главная ось U проходит через 1-й и 3-й, а при I_ху > 0 – через 2-й и 4-й квадранты.

2. Если I_x > I_у, то главная ось U находится под углом a к оси X. При I_у > I_x ось U находится под углом a к оси Y.

Примеры решения задачи приведены в [2, c.160…163] и [8, c.67…75].

Задача 4. Балка одинаковой жесткости по длине (ЕI = const) нагружена сосредоточенной силой F, распределенной нагрузкой q и моментом М.

Требуется:

1) для расчетной схемы «А» построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать двутавровое сечение балки;

2) для расчетной схемы «В» построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прямоугольное сечение балки с соотношение сторон 1:2 и построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении балки.

Числовые значения для решения задачи 4 принять по табл. 4, а расчетную схему – по рис. 4 и 5.

Перед тем как приступить к решению задачи необходимо изучить раздел «Изгиб».

 

Рис. 4. Расчетные схемы к задаче 4.

 

 

Рис. 5. Расчетные схемы к задаче 4.

Т а б л и ц а 4. Числовые данные к задаче 4.

Номер строки	Номер схемы	Расстояние а, м	F, кН	q, кН/м	М кН×м	Допускаемое значение напряжения [s], МПа
						Схема А	Схема В
1	0	0,50	20	11	15	160	10
2	1	0,60	22	12	20	165	15
3	2	0,70	24	13	25	170	20
4	3	0,65	25	15	10	175	25
5	4	0,75	26	17	24	180	30
6	5	0,90	18	16	30	185	35
7	6	0,80	16	14	22	190	40
8	7	0,95	15	18	16	195	45
9	8	1,00	14	20	18	200	50
0	9	0,55	23	19	26	210	55
ххх	в	б	а	в	б	а	в

Решение задачи (расчетная схема А) следует начать с определения опорных реакций. Для этого следует составить два независимых уравнения статики в виде åМ = 0. После определения реакций должна быть выполнена проверка правильности расчетов. При этом рекомендуется использовать уравнение статики вида åF_у = 0. Если реакции определены верно, то, используя метод сечений, находят внутренние силовые факторы Q и М.

Для расчетной схемы В опорные реакции можно не определять, а сразу приступать к определению внутренних силовых факторов Q и М, используя метод сечений, начиная со свободного конца консольной балки. Эпюры Q и М необходимо строить под расчетными схемами балок.

Для контроля правильности построения эпюр следует руководствоваться следующими основными положениями. На участках балки, где отсутствует распределенная нагрузка q, поперечные силы постоянны, а изгибающие моменты меняются по линейному закону. Скачки на эпюре Q соответствуют точкам приложения сосредоточенных сил, в том числе и опорных реакций. Скачок на эпюре М соответствует действию сосредоточенного внешнего момента М. На участках, где приложена постоянная распределенная нагрузка q, поперечная сила изменяется по длине балки по линейному закону, а эпюра изгибающих моментов на этом участке ограничена квадратной параболой, вогнутость которой соответствует направлению распределенной нагрузки q (правило «паруса»).

Примеры решения задачи приведены в [1, c.157…158], [2, c.314…3] и [8, c.93…102].

Задача 5. К стальному валу приложены три известных момента: М₁, М₂, М₃.

Требуется:

1) определить значение момента Х из условия, что угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю;

2) построить эпюру крутящих моментов с учетом найденного значения момента Х;

3) подобрать диаметр вала из расчета на прочность;

4) построить эпюру углов закручивания вала;

5) найти наибольший относительный угол закручивания.

Числовые значения для решения задачи 5 принять по табл.5, а расчетную схему – по рис.6.

 

Т а б л и ц а 5. Числовые данные к задаче 5.

Номер строки	Номер схемы	М1	М2	М3	а	в	с	[τ] МПа
		Н·м			м
1	0	600	1600	2000	1,0	1,5	1,0	45
2	1	700	1700	1900	1,1	1,6	1,1	50
3	2	800	1800	1800	1,2	1,7	1,2	55
4	3	900	1900	1700	1,3	1,8	1,3	60
5	4	1000	2000	1600	1,4	1,9	1,4	65
6	5	1100	600	1500	1,5	2,0	1,5	70
7	6	1200	700	1400	1,6	1,4	1,6	75
8	7	1300	800	1300	1,7	1,3	1,7	80
9	8	1400	900	1200	1,8	1,2	1,8	40
0	9	1500	1000	1100	1,9	1,1	1,9	35
ххх	в	в	б	а	в	б	а	в

 

Перед тем как приступить к решению задачи необходимо изучить раздел «Кручение».

При определении неизвестного момента Х следует рассмотреть деформацию вала под действием внешних моментов. Для этого необходимо составить уравнение углов закручивания вала, используя принцип независимости действия сил. При этом угол поворота правого концевого вала по условию задачи должен равняться нулю. После определения неизвестного значения Х, используя метод сечений, следует

 

Рис. 6. Расчетные схемы к задаче 5.

построить эпюру крутящих моментов М_кр. По наибольшему значению крутящего момента выбрать опасное сечение вала. из условия прочности по заданному касательному напряжению [τ] подобрать диаметр вала, округлив расчетное значение до ближайшего стандартного: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 125, 130 и т.д. мм. Затем необходимо построить эпюру углов закручивания и найти наибольший относительный угол закручивания.

Примеры решения задачи приведены в [2, c. 195…199] и [8, c.85…89].

Задача 6. Шкив с диаметром D₁ и углом наклона ветвей ремня к горизонту α₁ делает n оборотов в минуту и передает мощность N (кВт). Два других шкива имеют одинаковые диаметр D₂ и углы наклона ветвей ремня к горизонту α₂ и каждый из них передает мощность N/2.

Требуется:

1) определить моменты, приложенные к шкивам, по заданным N и n построить эпюру крутящих моментов М_кр;

2) определить окружные усилия t₁ и t₂, действующие на шкивы, по найденным моментам и заданным диаметрам шкивов D₁ и D₂;

3) определить нагрузки, действующие на вал, принимая их равными трем окружным усилиям;

4) определить силы, изгибающие вал в вертикальной и горизонтальной плоскостях (массу шкивов и вала не учитывать);

5) построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил М_г и от вертикальных сил М_в;

6) построить эпюру суммарных изгибающих моментов М_и;

7) найти опасное сечение вала и определить расчетный момент, пользуясь третьей теорией прочности;

8) подобрать диаметр вала по заданному значению [σ] и округлить расчетное значение до ближайшего: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 125, 130 и далее через 10 мм.

Числовые значения для решения задачи 6 принять по табл. 6, расчетную схему – по рис. 7 и 8.

Перед тем как приступить к решению задачи, необходимо изучить раздел «Сложное нагружение».

 

 

Рис. 7. Расчетные схемы к задаче 6.

 

Рис. 8. Расчетные схемы к задаче 6.

Т а б л и ц а 6. Числовые данные к задаче 6.

Номер строки	Номер схемы	N, кВт	n, об/мин	α1	α2	а	b	c	D1	D2	[σ] МПа
				град.		м
1	1	100	900	10	0	1,9	1,0	1,1	1,5	0,6	100
2	2	110	800	20	90	1,8	1,1	1,2	1,4	0,7	105
3	3	120	700	30	80	1,7	1,2	1,3	1,3	0,8	110
4	4	130	600	40	70	1,6	1,3	1,4	1,2	0,9	115
5	5	140	500	50	60	1,5	1,4	1,5	1,1	1,0	120
6	6	150	400	60	50	1,1	1,5	1,6	1,0	1,1	125
7	7	115	300	70	40	1,3	1,6	1,7	0,9	1,2	130
8	8	125	200	80	30	1,2	1,7	1,8	0,8	1,3	135
9	9	135	100	90	20	1,1	1,8	1,9	0,7	1,4	140
0	10	145	100	0	10	1,0	1,9	1,0	0,6	1,5	145
ххх	в	б	а	в	б	а	в	б	а	в	в

 

Решение задачи следует начать с определения крутящих моментов, приложенных к шкивам. Для этого рекомендуется пользоваться формулой М_кр = 9550·N/n (H·м). В этой формуле N – мощность (кВт), n– число оборотов вала (об/мин).

После определения крутящих моментов, приложенных к шкивам, строят эпюру крутящих моментов и определяют окружные усилия, действующие на шкивы. Вал подвергается изгибу под действием веса шкивов и окружных усилий, передаваемых ременными передачами. При решении задачи вес шкивов не учитывать.

Силы, которые передаются на вал через шкивы, действуют под определенными углами наклона (α₁ и α₂) к горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести шкива. Эти силы необходимо разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную, построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных и вертикальных сил и эпюру суммарных изгибающих моментов. По эпюрам крутящих моментов и суммарной изгибающих моментов определяют опасное сечение и расчетный момент. Опасным является такое сечение вала, в котором суммарный изгибающий и крутящий моменты одновременно велики. По значению расчетного момента производится подбор диаметра вала.

Примеры решения задачи приведены в [2, c.377…384] и [7, c.289…291].

 

 

Задача 7. Короткий стальной стержень двутаврового сечения находится под действием продольной силы F, приложенной внецентренно в точке А с координатами Х_F  и Y_F.

Требуется:

1) определить положение нейтральной линии сечения;

2) определить максимально допустимое значение силы F из условия прочности по нормальным напряжениям;

3) построить эпюру нормальных напряжений σ в поперечном сечении стержня;

Числовые значения для решения задачи 7 принять по табл.7, а расчетную схему – по рис. 9.

«+» – сила F растягивает стержень, «–» – сжимает.

 

 

Рис. 9. Расчетные схемы к задаче 7.

 

Перед тем как приступить к решению задачи, необходимо изучить раздел «Сложное нагружение».

Решение задачи следует начать с того, что из сортамента прокатных профилей выписывают размеры и геометрические характеристики двутавра: h и b мм; А в см² I_х и I_у в см⁴. Координаты точки приложения силы F следует вычислить через соотношения Х_F/b и Y_F/h. Далее необходимо определить положение нейтральной линии сечения. После этого в масштабе вычерчивается все сечение, наносится точка А приложения силы F, проводится нейтральная линия сечения и определяются опасные точки сечения для растянутой и сжатой зон. Используя условие прочности, по заданному значению [σ] определяется максимально допустимое значение силы F. Рассчитываются нормальные напряжения, и строится эпюра.

 

Т а б л и ц а 7. Числовые данные к таблице 7.

Номер строки	Двутавр №	Направление cилы F*	ХF/b	YF/h	[σ] МПа
1	2	3	4	5	6
1	24а	+	0,5	– 0,5	190
2	24	–	0,4	– 0,5	185
3	22а	+	0,3	– 0,5	180
4	20	–	0,5	0,5	175
5	18а	+	–0,5	–0,5	170
6	20а	–	0,3	0,5	165
7	22	+	–0,5	–0,5	160
8	18	–	–0,4	–0,5	155
9	27	+	–0,3	0,5	150
0	27а	-	-0,5	0,5	145
x хх	в	а	в	б	в

Примеры решения задачи приведены в [7, 271…272] и[8, c.157…162].

 

Задача 8. Рама с постоянной жесткостью вертикальных и горизонтальных элементов (ЕI = const), имеющая размеры L и h, нагружена в своей плоскости распределенной нагрузкой q.

Требуется:

1) установить степень статической неопределимости;

2) выбрать основную систему;

3) составить канонические уравнения;

4) построить эпюры М от единичных сил и от заданной нагрузки;

5) вычислить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, проверить их, решить систему и найти величины лишних неизвестных;

6) построить расчетные эпюры М, Q и N;

7) выполнить статическую проверку узлов.

Числовые значения для решения задачи 8 принять по табл. 8, а расчетную схему – по рис. 10.

 

Рис. 10. Расчетные схемы к задаче 8.

Т а б л и ц а 8. Числовые данные к задаче 8.

Номер строки	Номер схемы	Размеры, м		q, кН/м
		ℓ	h
1	2	3	4	5
1	0	8	2	11
2	1	6	3	12
3	2	4	4	13
4	3	5	5	15
5	4	7	6	17
6	5	9	7	16
7	6	10	6	14
8	7	11	5	18
9	8	12	4	20
0	9	8	3	19
xxx	в	б	а	в

 

Перед тем как приступить к решению задачи, необходимо изучить раздел «Определение перемещений и расчет статически неопределимых систем».

Задачу следует решать с использованием метода сил. Согласно этому методу расчет исходной статически неопределимой системы может быть заменен расчетом некоторой основной системы. Основная

система должна быть статически определимой, геометрически неизменяемой и полученной из исходной системы путем отбрасывания лишних связей и заменой их действием неизвестных сил Х₁. Далее составляют систему канонических уравнений. Число этих уравнений совпадает с числом неизвестных сил Х₁. Для определения коэффициентов канонических уравнений необходимо построить эпюры М от единичных сил Х₁ = 1 и от внешней нагрузки q, а затем использовать перемножение эпюр по способу Верещагина. Решая систему канонических уравнений, определяем неизвестные Х₁. После этого строятся эпюры М, Q и N и выполняется статическая проверка. Статическая проверка состоит в том, что любая вырезанная из исходной системы часть (узел) должна находиться в равновесии под действием внешних сил и внутренних силовых факторов в сечениях.

Примеры решения задачи приведены в [1, c. 237…243] и [2, c.475…480].

Задача 9. Стальной стержень длиной ℓ сжимается продольной нагрузкой F.

Требуется:

1) подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости, пользуясь таблицей коэффициентов продольного изгиба φ.

2) определить критическую силу для заданного стержня и найти коэффициент запаса устойчивости.

Числовые значения для решения задачи 9 принять по табл. 9, а расчетную схему – по рис. 11.

 

Т а б л и ц а 9. Числовые данные к задаче 9.

Номер строки	Номер схемы	Номер сечения	F, кН	ℓ, м	[σ], МПа
0	5	1	700	2,1	200
1	1	2	750	2,2	195
2	2	3	800	2,3	190
3	3	4	850	2,4	185
4	4	5	400	2,5	180
5	5	6	450	2,6	175
6	4	7	500	2,7	170
7	3	8	550	2,8	165
8	2	9	600	2,9	160
9	1	0	650	3,0	155
x хх	в	а	в	б	в

 

Перед тем как приступить к решению задачи, необходимо изучить раздел «Продольный изгиб прямого стержня».

Подбор размеров поперечного сечения стержня следует производить методом последовательных приближений, предварительно задавшись коэффициентом φ = 0,5.

Примеры решения задачи приведены в [2, c.492…496] и [8, c.178…183].

Задача 10. На двутавровую балку по ГОСТ 8239 – 72 с высоты Н падает груз F. Массу балки не учитывать.

Требуется:

1) проверить прочность материала балки;

2) определить динамическое перемещение точки приложения груза;

 

 

Рис. 11. Расчетные схемы к задаче 9.

3) определить максимальное нормальное напряжение в балке при условии, что правая опора заменена пружиной, податливость которой равна α.

Числовые значения для решения задачи 10 принять по табл. 10, а расчетную схему – по рис. 12.

Перед тем как приступить к решению задачи, необходимо изучить раздел «Динамическая нагрузка».

 

Т а б л и ц а 10. Числовые данные к задаче 10.

Номер строки	Номер схемы	F, Н	H, м	а, м	b, м	Номер двутавра	10–3 α, м/кН	[σ], МПа
0	0	450	0,18	4,0	2,2	16	30	150
1	1	500	0,17	3,6	2,0	18	29	155
2	2	550	0,16	3,2	1,9	20	28	160
3	3	600	0,15	2,8	1,8	20а	27	165
4	4	650	0,19	2,4	1,6	22	26	170
5	5	700	0,10	2,0	1,7	22а	25	175
6	6	750	0,11	3,8	2,6	24	24	180
7	7	800	0,12	3,6	2,4	24а	23	185
8	8	850	0,09	3,4	2,8	18а	22	190
9	9	900	0,08	3,2	2,3	27	21	195
ххх	в	б	а	в	в	б	а	в

При решении задачи необходимо учесть, что балка подвергается действию поперечного (изгибающего) удара. Для упрощения расчетов необходимо принять следующие допущения: 1) деформации конструкции от воздействия ударяющего тела подчиняются закону Гука и подобны деформациям, возникающим при статическом приложении той же нагрузки; 2) ударяющее тело является абсолютно жестким и с момента соприкосновения с конструкцией остается связанным с ней во время всего ее дальнейшего перемещения; 3) работа, совершаемая падающим телом, полностью преобразуется в энергию деформации конструкции.

Перемещение точки приложения груза F необходимо вычислить на основе способа Верещагина при статическом нагружении. После определения этого перемещения следует вычислить динамический коэффициент и наибольшее напряжение от статического приложения силы F, построив предварительно эпюры изгибающих моментов.

При выполнении п.3 настоящей задачи следует иметь в виду, что податливость пружины представляет собой ее осадку от груза весом 1 кН.