Основные теоретические положения

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ

 

Методические указания к выполнению лабораторной работы

 “Согласованная линейная фильтрация сигналов”

для студентов специальности 010501

“Математик, системный программист”

 

Томск 2007

 

ББК 32.84.К27

 

Цифровая обработка сигналов и изображений. Методические указания к выполнению лабораторной работы “Согласованная линейная фильтрация сигналов” для студентов специальности 010501 “Математик, системный программист”. - Томск: Изд-во ТПУ, 2007. – 6 c.

 

Составитель: доц., канд. техн. наук В.П. Иванченков

                         

                         

 

Рецензент     доц., канд. техн. наук А.И. Кочегуров

 

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры прикладной математики

“____” _________________ 2007г.

 

 

Зав. кафедрой,

проф. д.ф.-м.н.__________________________ В.П.Григорьев

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

ТЕМА: Согласованная линейная фильтрация сигналов

Цель работы

    При решении задач оптимального обнаружения и различения сигналов на фоне помех широко применяются согласованные линейные фильтры. Целью данной работы является ознакомление с принципом действия согласованного фильтра и исследование возможностей его применения для оценки параметров выделяемых сигналов.

 

Основные теоретические положения

    Из теории оптимальных методов обработки сигналов известно, что в условиях наблюдения детерминированного сигнала на фоне гауссовской помехи типа белого шума  оптимальный приемник должен вычислить интеграл вида [1]:

,                                     (1)

где

 –                                               (2)

– процесс, поступающий на вход приемника, заданный в интервале ,  – односторонняя спектральная плотность шума .

Интервал (1) можно рассматривать как меру взаимной корреляции сигнала  и наблюдаемого процесса . Чтобы осуществить реализацию выражения (1), используют так называемый корреляционный приемник. С другой стороны выражение (1) может быть реализовано в виде свертки процесса  с импульсной характеристикой оптимального фильтра, получившего название согласованного фильтра.

Критерием оптимальности применения такого фильтра является получение на его выходе максимально возможного отношения сигнала к шуму. При этом максимальное отношение сигнала к шуму по мощности на выходе согласованного фильтра определяется [1,2]

,                                     (3)

где  – энергия сигнала;  – комплексный спектр сигнала.

При этом частотная характеристика согласованного фильтра имеет вид:

,                                               (4)

где k – некоторая постоянная,  – момент времени, соответствующий наибольшему отношению пикового значения сигнала среднеквадратическому значению помехи.

Следует отметить, что максимальное отношение сигнала к шуму (3) на выходе согласованного фильтра определяется энергией сигнала и спектральной плотностью шума и не зависит от формы сигнала.

Запишем комплексный спектр входного сигнала и частотную характеристику согласованного фильтра в виде:

                                          (5)

    В соответствии с (4) тогда получим

                                        (6)

    Видно, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра пропорциональна амплитудному спектру входного сигнала, а фазочастотная характеристика (ФЧХ) равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком и фазового спектра задержки .

Совпадение формы АЧХ фильтра с амплитудным спектром входного сигнала обеспечивает наилучшее выделение наиболее интенсивных участков спектра сигнала. При этом форма сигнала на выходе фильтра искажается. Однако это не имеет значения, так как задача фильтра в данном случае состоит не в точном воспроизведении входного сигнала, а формировании наибольшего пика выходного сигнала на фоне шума. При фильтрации в частотной области она реализуется в следующей последовательности [3]

,            (7)

где F, F^-1 – операторы прямого и обратного преобразования Фурье,  – соответственно сигнал на выходе согласованного фильтра и его спектр.

Учитывая (4, 7) сигнал на выходе согласованного фильтра можно записать:

.              (8)

    Отсюда видно, что сигнал на выходе согласованного фильтра определяется только амплитудным спектром входного сигнала и не зависит от его фазочастотного спектра. Последнее объясняется тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала  компенсируются фазочастотной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени , складываясь, дают пик выходного сигнала

.                   (9)

Если бы ФЧХ фильтра не компенсировала фазовых сдвигов спектральных составляющих входного сигнала, то максимумы гармонических составляющих не совпадали бы во времени, что привело бы к уменьшению или раздроблению пика выходного сигнала.

 

Задание к работе

 

1. Сформировать последовательность  в виде аддитивной смеси  и шума , заданной в интервале [0, Т] с шагом . Сигнал задать в виде импульса

Шум  имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием  и среднеквадратическим . Для сигнала принять , .

2. Сгенерировать 30 выборок последовательности , и произвести их согласованную фильтрацию в соответствии с (7). Параметры согласованного фильтра выбрать, исходя из свойств входного сигнала.

3. Построить амплитудный спектр входного сигнала реализации процессов на входе и выходе согласованного фильтра.

4.Произвести оценку временного положения сигнала по максимальному значению отклика на выходе фильтра.

5. Дать анализ полученных результатов.

 

Форма отчета

 

1. Задание к работе.

2. Краткое пояснение теоретических положений.

3. Графики процессов на входе и выходе фильтра, амплитудного спектра входного сигнала.

4. Выводы.

Литература

1. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. – М.: Радио и связь, 1983. – 320 с.

2. Пономарев Г.А., Пономарева В.Н., Якубов В.П. Статистические методы в радиофизике. – Томск, Изд-во ТГУ, 1989. – 235 с.

3. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов – М.: Питер, 2006. – 750с.