Метод билинейного преобразования

Томский политехнический университет

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВОГО БИХ-ФИЛЬТРА

МЕТОДОМ БИЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В ПАКЕТЕ ПРОГРАММ MATLAB

Методические указания

по выполнению лабораторной работы №6

по курсу “Цифровая обработка сигналов”

ТОМСК 2010

Лабораторная работа №6

Проектирование цифрового БИХ-фильтра методом билинейного преобразования в пакете программ MATLAB

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1.1. изучить особенности синтеза БИХ-фильтров методом билинейного преобразования в пакете программ MATLAB;

1.2. синтез цифрового фильтра методом билинейного преобразования;

1.3. исследование характеристик синтезированного цифрового фильтра.

2. КРАТКИЕ ПОЯСНЕНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Метод билинейного преобразования

Метод билинейного преобразования относится к аналитическим методам расчета.

По методу билинейного преобразования синтезируемому ЦФ ставится в соответствие некоторый аналоговый фильтр-прототип (АФП ) с передаточной функцией Н(s) и частотной характеристикой H(j×Ω), однозначно связанными с передаточной функцией H(z) и частотной характеристикой H(j×ω) ЦФ:

АФП                     ЦФ                        АФП                                 ЦФ

Связь эта определяется прямой s=f(z) и обратной z=f^-1(s) преобразующими функциями и соответствующими им при s=j×Ω и z=e^j×ωTд преобразованиями частот

Ω=f(ω), ω=f^-1(Ω) аналогового и цифрового фильтров.

С помощью этих преобразований определяются требования к АФП, по которым хорошо разработанными методами синтезируется его передаточная функция H(s), преобразуемая затем в искомую передаточную функцию ЦФ H(z).

Билинейное преобразование, которое определяется следующим образом:

Можно также найти обратное соотношение

Из свойств процедуры перехода на основе билинейного преобразования следует, что мнимая ось S-плоскости отображается в единичную окружность в Z-плоскости (где |z|=1)

Рис. 2. Свойства процедуры перехода на основе билинейного преобразования

Билинейное преобразование – однозначная функция. Это означает, что каждой точке в Z-плоскости соответствует точно одна точка в s-плоскости и наоборот. Из этого свойства однозначности следует, что отсутствует эффект наложения спектров при билинейной процедуре отображения.

Методика расчета цифровых фильтров на основе метода билинейного преобразования включает в себя нахождение подходящей передаточной функции Н(s) аналогового фильтра и применение к ней билинейного преобразования для получения передаточной фикции H(z) требуемого цифрового фильтра

(3)

При этом преобразовании будут сохраняться и частотные характеристики, и свойства устойчивости аналогового фильтра. Однако это не означает, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтра идентичны, одинакова только их «форма». Например, если амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра монотонно спадает при 0 <W< ¥, то соответствующий цифровой фильтр, полученный с помощью соотношения (3), будет обладать монотонно спадающей АЧХ при 0 <w< ¥,. То есть, если АЧХ аналогового фильтра имеет k подъемов и спадов при 0 <W< ¥, то и амплитудно-частотная характеристика соответствующего цифрового фильтра будет обладать k подъемами и спадами.

В результате перехода к нормированным частотам ЦФ частотные преобразования принимают вид

(4)

Характер деформации частот при билинейном преобразовании показан на рис. 3.

Рис. 3. Преобразование АЧХ аналогового ФНЧ в АЧХ цифрового ФНЧ

Для обеспечения равенства  необходимо деформировать частоту аналогового ФНЧ – прототипа: .

Билинейное преобразование обеспечивает простую процедуру перехода от аналоговых к цифровым фильтрам и сохраняет вид частотных характеристик при преобразовании. Это означает, что широкополосные аналоговые фильтры с крутой переходной областью отображаются в широкополосные цифровые фильтры без эффекта наложения. В этом заключается основное преимущество этого метода по сравнению с методом инвариантности импульсной характеристики. Недостатком билинейного преобразования является то, что нелинейность соотношения между цифровой частотой w и аналоговой частотой Ω приводит к искажению частотных характеристик аналоговых фильтров. Кроме того, при этом преобразовании не сохраняется импульсная характеристика.