Третья глава посвящена вопросу нахождения первого приближения геометрии оптимальной траектории при смешанных ограничениях, типа неравенств.

Исследуется вопрос об эффективном (с точки зрения затрат машинных ресурсов) способе нахождения численного решения задач 1 и 2. Требование эффективного решения обусловлено многократным решением задач 1 и 2 при различных значениях параметров. Известно, что достаточно экономичные методы решения задач класса 1 – 2 базируются на использовании методов прогонки, требующих априорного разделения для каждого  множества условий  на подмножествах активных и неактивных ограничений. При этом, как правило, используются какие-либо специфические особенности системы ограничений.

В этом случае приемлемой альтернативой сложным схемам решения задач оптимального управления методом прогонки может служить схема формирования гипотезы о геометрии оптимальной траектории задачи 1-2, основанная на использовании приближенного решения, получаемого путем дискретизации времени. Преимущества предлагаемого метода заключаются в том, что он не различает отдельные ограничения на ограничения по фазам, управлениям или смешанным ограничениям. Следовательно, метод решения дискретизированной задачи не будет обладать недостатками метода прогонки. Дискретизированная задача является задачей ЛП, и в этой задаче фазовые и управляющие переменные уже неразличимы, что является преимуществом данного подхода. Следовательно, для получения решения дискретизированной задачи необходимо надежное программное средство.

Суть рассматриваемой схемы выделения множества активных ограничений заключается в дискретизации времени и сведении исходной задачи 1-2 к вспомогательной задаче математического программирования с конечным числом переменных. Дифференциальные уравнения при этом заменяются конечно-разностными по схеме Эйлера первого или второго порядка точности. Подобные задачи рассмотрены в трудах Ю.Г. Евтушенко. Решение данной вспомогательной задачи рассматривается как некоторое приближение к решению исходной, и на его основании производится выделение подмножества активных ограничений.

В четвертой главе излагаются различные формы задач линейного программирования (ЛП), куда входят также несобственные задачи. Здесь для решения задачи ЛП предлагается метод введения параметра в целевую функцию. Это дало возможность получить эффективную оценку решения задачи ЛП. Кроме того использовался адаптированный пакет прикладных программ БАЛАНС - 2, обеспечивающий многократное формирование условий нахождения решения и создания необходимых для анализа выходных файлов. Была использована реализация для ОС Windows 2K-XP базовой версии алгоритма анализа неполных математических моделей (разработанная в 1985 году в IIASA, в рамках проекта Regional Development, на языке "Fortran-IV" для ПЭВМ Altus-2. Авторы: Ким К.В. и Умнов А.Е.), адаптированная для языка С++ на кафедре высшей математики МФТИ в рамках совместных исследований с ЗАО «Оптимизационные системы и технологии». В комплекс программных средств решения задач ЛП были включены модули диагностики и анализа качества (получаемых на основе найденных решений) гипотез об оптимальной геометрии фазовых траекторий. Специальные программные средства были разработаны для решения сопряженных задач, проверки формализма Понтрягина-Дубовицкого-Милютина и прямой проверки оптимальности решения на множестве допустимых вариаций.

В приложении 1 изложен новый эффективный метод интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений на базе параметризации явных схем.

В приложении 2 исследуется задача регуляризации вырожденного принципа максимума за счет введения управляющих параметров в правые части обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведен пример аналитического исследования содержательного принципа максимума. 

Выводы:

Предложена модель взаимодействия двух промышленных предприятий, которая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с фазовыми и смешанными ограничениями.

    Предложены явные численные методы для интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

    Предложен метод оценки геометрии оптимальной траектории.

     Предложен метод регуляризации вырожденного принципа максимума в задаче взаимодействия двух промышленных предприятий.

     Доказана теорема существования и единственности оптимального решения в задаче взаимодействия.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Дикусар В.В., Старинец Д. В.Управление риском портфеля ценных бумаг Труды ИСА РАН. Т.31(1) Динамика неоднородных систем. 2007г.С.14-22.

Старинец Д. В. Методы продолжения при решении краевых задач оптимального управления. Труды ИСА РАН. Т.31(1) Динамика неоднородных систем. 2007г.С.74-80.

Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В.  Достаточные условия экстремума в линейной задаче оптимального управления. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г С. 16-23.

Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Сходимость дискретных аппроксимаций. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г. С. 101-110.

Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Численно-аналитический метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г.С. 111-122.

Дикусар В.В., Старинец Д.В. Методы интегрирования жестких систем явными методами. Труды 14-ой Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск-Байкал 2-8-го июля 2008г. т.3 ИСЭМ СО РАН 2008. С. 77-85.

Dikusar V.V., Starinets D.V. Continuation methods for solving boundary value problems. Abstracts of International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06^th – 10^th , 2008. P.37.

 Dikusar V.V., Starinets D.V. Determined portfolio dynamic problem. Abstracts of International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06^th – 10^th , 2008. P.38.