Частичные группоиды и их свойства
12
Как известно, бинарная алгебраическая операция на множестве S – это отображение из декартового квадрата S×S. В этом случае говорят , что задано действие на S. Мы его в этом параграфе будем называть полным действием. Всякое отображение из подмножества S×S в S называется частичным действием на S. Иными словами, частичное действие на S – это некоторая функция из S×S → S. Можно сказать, что на S задано частичное действие (частичное умножение), если для любых элементов а,в S произведение а·в либо не определено, либо определено однозначно. Попросту говоря, здесь не любые элементы перемножены. Множество S с заданным в нем частичным умножением называется частичным группоидом и обозначается (S ; · ) в отличие от полного группоида < S ; · >. Если для полного группоида можно говорить о таблице Кэли, то для частичного группоида можно говорить о некотором аналоге таблицы Кэли, а именно о такой таблице, когда некоторые клетки пусты – это в том случае, когда произведение элементов неопределенно. Пример 1.
а·в= в, но в·а не определено, т.е. в·а = Ø . Символ “ Ø “ не принадлежит S , т.е. не является элементом из S. Пример 2. Рассмотрим ЧУМ (S ; ≤ ). S = {a ,в, c , d}, где а ≤ а, в ≤ в, с ≤ с, d ≤ d, с ≤ а, с ≤ в, d ≤ а, d ≤ в. В произвольном ЧУМе (S ; ≤ ) условимся обозначать: а в = inf{a ,в}. Тогда указанное в примере ЧУМ относительно этого частичного действия , является частичным группоидом (S ; ), таблицей Кэли которого является следующая
В этом параграфе мы рассмотрим три вида ассоциативности: сильная ассоциативность, средняя ассоциативность, слабая ассоциативность. Определение 1. Частичный группоид (S ; · ) называется слабо ассоциативным, если ( х ,y,z S) (x·y)·z Ø x·(y·z) → (x·y)·z = x·(y·z) (*) Определение 2. Частичный группоид (S ; · ) называется средне ассоциативным, если ( х ,y,z S) (x·y)·z Ø y·z → (x·y)·z = x·(y·z) Определение 3. Частичный группоид (S ; · ) называется сильно ассоциативным, если ( х ,y,z S) [(x·y)·z Ø x·(y·z) Ø → (x·y)·z = x·(y·z)] (*) В сильно ассоциативном частичном группоиде выполняется свойства средней и слабой ассоциативности. Однако обратное отнюдь не обязательно. Пример 3. Дано А = {a ,в,с}. Зададим на А частичное действие умножение “ частичной таблицей Кэли”.
Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли группоид сильно ассоциативным. Пусть (x·y)·z Ø т.к. х а, то либо х = с х = в 1) пусть х = с, тогда у = в у = с а) пусть у = в, тогда z = a (с·в)·а Ø с·(в·а) определено (с·в)·а = с·(в·а) равенство выполняется б) пусть у = с, тогда z = в z = с а’) если z = в , тогда (с·с)·в Ø с·(с·в) определено (с·с)·в = с·(с·в) равенство выполняется б’) если z = с, тогда (с·с)·с Ø с·(с·с) определено (с·с)·с = с·(с·с) равенство выполняется 2) пусть х = в, тогда у = а ,а z = в z = c а) если у = а и z = в (в·а)·в Ø= в·(а·в) не определено (в·а)·в в·(а·в) равенство не выполняется б) пусть у = а и z = с (в·а)·с Ø= в·(а·с) не определено (в·а)·с в·(а·с) равенство не выполняется Итак, по определению, частичный группоид не является сильно ассоциативным . Но это еще не означает, что (S ; · ) не является слабо ассоциативным. Выясним это. Пусть(x·y)·z Ø x·(y·z) Ø . При х а, у а, а именно, когда х = в х = с у = в у = с этот частичный группоид является слабо ассоциативным. Пример 4. Пусть А = {a , в,с}, можно задать на А следующую таблицу Кэли. Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли этот группоид средне ассоциативным.
Пусть (x·y)·z Ø т.к. х в, тогда х = а х = с 1) пусть х = а, тогда у = а у = в а) пусть у = а, тогда z = a, z = в а’) если z = а , тогда (а·а)·а Ø а·a определено (а·а)·а а·(а·a) равенство не выполняется б’) если z = в, тогда (а·а)·в Ø а·в определено (а·а)·в а·(а·в) равенство не выполняется Отсюда, мы видим, что группоид не является средне ассоциативным. Выясним является ли он слабо ассоциативный. Пусть (x·y)·z Ø x·(y·z) Ø, т.к. х в, тогда х = а х = с 1) пусть х = а, тогда у = а у = в а) пусть у = а, тогда z = a, z = в а’) если z = а , тогда (а·а)·а Ø= а·(а·a) не определено (а·а)·а а·(а·a) б’) если z = в, тогда (а·а)·в Ø а·(а·в) определено (а·а)·в = а·(а·в) равенство выполняется б) пусть у = в, тогда z = a, z = в а’) если z = а , тогда (а·в)·а Ø= а·(в·a) не определено (а·в)·а а·(в·a) б’) если z = в, тогда (а·в)·в Ø а·(в·в) не определено (а·в)·в а·(в·в) равенство не выполняется 2) пусть х = с, тогда у = а , у = в а) пусть у = а, тогда z = a, z = в а’) если z = а , тогда (с·а)·а Ø= с·(а·a) не определено (с·а)·а с·(а·a) равенство не выполняется б’) если z = в, тогда (с·а)·в Ø с·(а·в) определено (с·а)·в = с·(а·в) равенство выполняется Итак , мы видим что частичный группоид является слабо ассоциативным при х = а и z = в или при х = с если у = а и z = в. Определение 4. Частичный группоид (S ; · ) называется коммутативным, если ( х, y S) x·y = y·х Определение 5. Частичный группоид (S ; · ) называется катенарным, если ( х ,y,z S) (x·y Ø y·z) → [(x·y)·z Ø x·(y·z)] Определение 6. Частичный группоид (S ; · ) называется идемпотентным, если ( х S) х = х Приведем пример некатенарного частичного группоида. Пример 5.
Имеем с а = с Ø, а d = d Ø. Однако, (с а) d = c d Ø. Следовательно, заданный ЧГ не является катенарным. Ясно, что понимаем под термином “ общая верхняя грань” элементов а и в некоторого ЧУМ. Определение 7. ЧУМ называется категорийным, если любые два его элемента, имеющие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань. Пример 6.
Чум не является категорийным, т.к. элементы с и d имеют верхнюю грань , но не имеют точную нижнюю грань. Пример 7. Частично упорядоченное множество, задаваемое таблицей Кэли:
является категорийным, так как любые два его элемента, имеющие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань. Пример 8. Частично упорядоченное множество
имеющее следующую таблицу Кэли:
является категорийным, так как любые два его элемента, имеющие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань. Понятно, что всякая полурешетка – это категорийное ЧУМ (но не на оборот), т.к. любые два элемента имеют точную нижнюю грань. Иными словами, класс всех категорийных ЧУМ содержит класс всех полурешеток, но с ним не совпадает. Т.о. любое предложение, доказанное для категорийных ЧУМ влечет в качестве очевидного следствия некоторую теорему относительно полурешеток. Приведем примеры полурешеток.
Диаграмма:
называется диамантом, и определяется полурешеткой, имеющей следующую таблицу Кэли:
Диаграмма:
называется пентагоном, и определяется полурешеткой, имеющей следующую таблицу Кэли:
Пример 11. Полурешетка, задаваемая таблицей Кэли:
имеет диаграмму:
Теорема 1. Пусть (S ; ≤ ) – категорийное ЧУМ, тогда (S ; ) – катенарный идемпотентный коммутативный слабо ассоциативный частичный группоид. Доказательство: Для любого а S всегда а а = inf{a , a} = a поэтому частичный группоид S идемпотентен. Имеем а в = inf{a ,в} = inf{в, a} = в а , а поэтому S коммутативен. Проверим слабую ассоциативность. Пусть (а в) с Ø а (в с) , обозначим а в = d, в с = e, (а в) с = d с = f, а (в с) = а е = g Докажем, что f = g. По определению имеем f ≤ d ≤ a f ≤ a, f ≤ d ≤ в f ≤ в (1) f ≤ c (2) Т.к. е = inf{в,с}, то из (1), (2) следует, что f ≤ e. Т.о. f – некоторая общая нижняя грань для а и е, а g – их точная нижняя грань, поэтому f ≤ g (3) Аналогично, g ≤ f (4) Неравенство (3), (4) и антисимметричность отношения ≤ обеспечивают f = g. Слабая ассоциативность доказана. Проверим катенарность S . Пусть а в Ø в с , обозначим а в = х , в с = y, отсюда х ≤ в, у ≤ в, т.е. в – общая верхняя грань х и у. Т.к. ЧУМ S категорийно, то существует inf{х,у}, т.е. существует в S х у. Обозначим х у = z, покажем ,что а (в с) = х с = z. Имеем z ≤ x, z ≤ y (т.к. z = inf{х,у}), y ≤ z z ≤ x , z ≤ c, z – нижняя грань для х и с. Обеспечим точность. Пусть t ≤ x , t ≤ c ( t – какая – либо нижняя грань ), т.к. t ≤ x , то t ≤ a, t ≤ в, по условию t ≤ с, т. е. t – общая нижняя грань для в и с. Отсюда следует по определению у , t ≤ y . Итак, t ≤ x, t ≤ у следовательно t ≤ z (по определению z). Катенарность доказана. Теорема 2. Если (S ; ·) – катенарный идемпотентный коммутативный слабо ассоциативный частичный группоид, то отношение ≤ = { (а,в) S×S | ав = а } (2) Является отношением порядка. При этом ЧУМ <S ; ≤ > – является катенарным. Доказательство: Докажем рефлексивность отношения ≤ . Т.к. частичный группоид S идемпотентен , то a · a = a отсюда , по определению (2) а ≤ а. Проверим антисимметричность. Если а ≤ в , в ≤ а ,то а·в = а, в·а = в, левые части равны в виду коммутативности , значит равны и правые, следовательно а = в. Осталось доказать транзитивность. Пусть а ≤ в , в ≤ с, тогда а·в = а, в·с = в, а·с = (а·в)·с. В силу катенарности имеем (а·в)·с Ø , а·(в·с) Ø , отсюда в силу слабой ассоциативности (а·в)·с = а·(в·с), а поэтому, а·с = а·(в·с) = а·в = а. Итак, а·с = а, т.е. а ≤ с. Т.о. имеем ЧУМ <S ; ≤ > . Проверим категоричность ЧУМ. Пусть z – общая верхняя грань для х и у. Следовательно, х ≤ z, y ≤ z , отсюда х· z = x , y · z = y, тогда z · y = y. В силу катенарности (x·y)·z Ø x·y Ø. Обозначим х·у = s, докажем , что s точная нижняя грань . Имеем s · x = (x·y)·x = x ·(x · y) = (x · x)·y = x · y = s (в виду катенарности и слабой ассоциативности), следовательно, s ≤ x, т.е. s – общая нижняя грань. Из этих теорем вытекают известные в теории полурешеток два следствия. Следствие 1. Если <S ; · > - идемпотентная коммутативная полугруппа, то отношение ≤ , определенное равенством (2), является частичным порядком. При этом для любых двух элементов в S существует точная нижняя грань. Следствие 2. Если <S ; · > - частично упорядоченное множество, в котором любых двух элементов существует точная нижняя грань, то относительно операции а в = inf{a ,в} (3) множество S является идемпотентной коммутативной полугруппой. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В заключении можно отметить, что теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор. В 1883 он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и порядкового числа, а в 1895 – понятие упорядоченного множества и порядкового типа. В 1906–07 С. О. Шатуновский сформулировал определения направленного множества (у Шатуновского – расположенный комплекс) и предела по направленному множеству (амер. математиками Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом эти же понятия были рассмотрены независимо от Шатуновского, но значительно позднее – в 1922). Общее понятие частично упорядоченного множества принадлежит Ф. Хаусдорфу (1914). Таким образом, теория частичных алгебраических действий, будучи продолжением теории полных действий, пользуясь ее достижениями, связанная с ней идеями и опытом приложений за пределами алгебры, все же должна оформиться как самостоятельное направление в обширной области современной алгебры. К настоящему времени опубликованы сотни работ, специально посвященных изучению частичных действий. Что касается работ, в которых те или иные частичные действия встречаются по ходу исследования, то число их не поддается оценке. О частичных действиях говорится и в некоторых общих алгебраических трудах, но всегда очень кратко. Список литературы 1. А.К. Клифорд, Г. Престон. Алгебраическая теория полугрупп. 1972. 2. Грейцер. Общая теория решеток.Москва.-284с. 3. Кожевников О.Б. Частично упорядоченные множества частичных группоидов.Москва,1998. – 680с. 4. Е.С. Ляпин. Полугруппы. Москва: физмат, 1960.- 354с. 5. Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел. Москва, 1980.-589с.
12
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (231)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |