Пример решения нелинейного уравнения

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

 

ИНФОРМАТИКА

 

Тема: Вычисление площадей криволинейных эпюр изгибающих моментов с использованием численных методов

 

 

Работу выполнил:

студент I-го курса
строительного факультета
Лапшин А.М.

 

Работу принял:

старший преподаватель

 

Пермь 2009

 

Решение нелинейного уравнения

Решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений. Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Следовательно, сама задача о точном определении корней теряет смысл и важное значении приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Любое нелинейное уравнение можно представить в виде:

 (1.1)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале А<x<B.

Всякое значение х*, обращающее уравнение (1.1) в тождество, называется корнем этого уравнения.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы позволяютзаписатькорни уравнений в аналитическом виде.

Итерационные методы – методы последовательных приближений.

Алгоритм нахождения приближенных значений корней уравнения (1.1) складывается из двух этапов:

1) определение или локализация корней.

2) Уточнение приближенного корня до заданной степени точности.

Существуют следующие методы решения нелинейных уравнений:

1) метод половинного деления

2) метод хорд

3) метод Ньютона

4) модифицированный метод Ньютона

В данной работе я использовал метод хорд. Рассмотрим его поподробнее.

Сущность метода хорд.

Пусть функция y=f(x) на отрезке [a,b] имеет единственный корень х*.

С геометрической точки зрения способ состоит в замене кривой y=f(x) хордой, проходящей через точки А[a,f(a)] и B₀[b,f(b)].

Уравнение хорды АВ запишется, как

(1.2)

Для построения итерационной последовательности рассмотрим два случая, каждый из которых определен видом графика функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Первый случай. Полагаем f(a)>0, f(b)<0 и f``(x)>0 для x=[a.b].

1) В качестве нулевого приближения корня выбираем правый конец отрезка [a,b], т.е. x₀=b.

2) Проводим хорду АВ₀ и за первое приближение х₁ принимаем абциссу точки пересечения хорды с осью ОХ.

3) Второе приближение х₂ получаем как абсциссу точки пересечения хорды АВ₁ с осью ОХ.

4) Аналогичным образом строим итерационную последовательность приближений:

(1.3)

Данная итерационная последовательность сводится к корню х*.

Второй случай. Полагаем f(a)<0, f(b)>0 и f``(x)>0. В качестве нулевого приближения корня выбираем левый конец отрезка [a,b], x₀=a, в качестве неподвижного конца х=b

Аналогично первому случаю строим последовательность приближений, сходящуюся к точному х* уравнения (1.1).

Пример решения нелинейного уравнения

Решим нелинейное уравнение

Выберем отрезок, где есть единственное решение уравнения (1.1): . Протабулируем данную функцию. Разобьем её на 10 частей, тогда шаг будет находиться по формуле: . Составим таблицу табулирования:

x	y
0,7	-0,310096924
1,03	-0,144620651
1,36	0,030805312
1,69	0,247786078
2,02	0,495075213
2,35	0,762805318
2,68	1,044535871
3,01	1,336148032
3,34	1,634948096
3,67	1,939120346
4	2,247403959

 

Выбираем начальное приближение. Из условия f``(x)*f(x)<0 выбираем начальное приближение. В нашем случае f``(x)>0, а f(x)<0, данное условие выполняется в точке х₀=а=0,7

n

x

F(x)